Aproximación de Landau a las colisiones en el plasma

Question

No puedo entender algunos pasos para obtener el término de colisión en la ecuación de Boltzmann para el plasma. Por primera vez lo hizo L.D. Landau en su artículo "La ecuación cinética en el caso de la interacción de Coulomb" (Zh. Eksper. i Teoret. Fiz. , 7 : 2 (1937) pp. 203-209)*.

Tampoco encuentro bibliografía adecuada, a menudo sucede que los autores utilizan un enfoque aproximado con una sección transversal y obtienen una expresión aproximada sin un factor preciso, que es importante para mí. Así que trato de leer el artículo de Landau y entender sus acciones.

*La versión en inglés se puede encontrar aquí: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780080105864500298

Pregunta

En general, no soy capaz de coger la expansión en serie de la probabilidad de colisión $\omega(p,p',\tilde{p},\tilde{p'})$ en $\tilde{p}=p,\ \tilde{p'}=p'$ , donde:
$p,\ \tilde{p}$ - momentos de la primera partícula antes y después de la colisión,
$p',\ \tilde{p'}$ - momentos de la segunda partícula antes y después de la colisión,
$\tilde{p_i}=p_i+\mathit{\Delta_i}\ ,\ \tilde{p'}=p_i'+\mathit{\Delta_i'}\ $ y $\mathit{\Delta},\ \mathit{\Delta'}$ se consideran parámetros pequeños.

Mi intento

Así es como yo haría esto (permítanme usar $p_{\alpha}, p_{\beta}$ en lugar de $p, p'$ ):
$$\omega(p_{\alpha},p_{\beta},\tilde{p_{\alpha}},\tilde{p_{\beta}})\approx \omega(p_{\alpha},p_{\beta},p_{\alpha},p_{\beta})+\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i+\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i$$

Ayudará a escribir el término de colisión $J_{\alpha\beta}=\iiint \omega(p_{\alpha},p_{\beta},\tilde{p_{\alpha}},\tilde{p_{\beta}})(\tilde{f_{\alpha}}\tilde{f_{\beta}}-f_{\alpha}f_{\beta})d^3p_{\beta}d^3\tilde{p_{\alpha}}d^3\tilde{p_{\beta}}$ como:
$$J_{\alpha\beta}\approx \iiint \omega(p_{\alpha},p_{\beta},p_{\alpha},p_{\beta})\left(f_{\alpha}\frac{\partial f_{\beta}}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i + f_{\beta}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i \right)d^3p_{\beta}d^3\tilde{p_{\alpha}}d^3\tilde{p_{\beta}} + \iiint \left [ \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i+\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i \right )\left(f_{\alpha}\frac{\partial f_{\beta}}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i + f_{\beta}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i \right) + \omega\left ( f_{\alpha}\frac{\partial^2 f_{\beta}}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i \partial \tilde{p_{\beta}}_j}\frac{\mathit{\Delta_{\beta}}_i \mathit{\Delta_{\beta}}_j}{2} + f_{\beta}\frac{\partial^2 f_{\alpha}}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i \partial \tilde{p_{\alpha}}_j}\frac{\mathit{\Delta_{\alpha}}_i \mathit{\Delta_{\alpha}}_j}{2} + \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i} \frac{\partial f_{\beta}}{\partial \tilde{p_{\beta}}_j}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i\mathit{\Delta_{\beta}}_j \right ) \right ]d^3p_{\beta}d^3\tilde{p_{\alpha}}d^3\tilde{p_{\beta}}\ ,$$ donde $\tilde{f}=f(r,\tilde{p},t),\ f=f(r,p,t)$ . La primera integral es cero, porque el integrando es impar relativamente al punto $\tilde{p_{\alpha}}=p_{\alpha}$ (o $\tilde{p_{\beta}}=p_{\beta}$ ).

Landau integra por partes una parte de la segunda integral sobre $d^3p_{\beta}$ : $$\iiint \frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i \left(f_{\alpha}\frac{\partial f_{\beta}}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i + f_{\beta}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i \right)d^3p_{\beta}d^3\tilde{p_{\alpha}}d^3\tilde{p_{\beta}}$$ Pero hay diferentes variables en la derivación $\frac{\partial}{\partial \tilde{p_{\beta}}}$ y el diferencial $d^3p_{\beta}$ (con y sin tilde). Además, $\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}$ es sólo una función de $p_{\alpha},p_{\beta}$ para que no pueda integrarse sobre $d^3\tilde{p_{\beta}}$ . Pero aquí sólo están mis notas, y creo que he malinterpretado algo. Landau lo hace de manera diferente, lo que me confunde.

El enfoque de Landau

1 paso

Escribe $\omega$ como: $$\omega \left( \frac{p_{\alpha}+\tilde{p_{\alpha}}}{2},\frac{p_{\beta}+\tilde{p_{\beta}}}{2},\tilde{p_{\alpha}}-p_{\alpha},\tilde{p_{\beta}}-p_{\beta} \right) = \omega \left( p_{\alpha}+\frac{\mathit{\Delta_{\alpha}}}{2},p_{\beta}+\frac{\mathit{\Delta_{\beta}}}{2},\mathit{\Delta_{\alpha}},\mathit{\Delta_{\beta}} \right)$$ y afirma lo siguiente:

( $\omega$ debe ampliarse, por supuesto, sólo con respecto a $\mathit{\Delta_i}$ que aparece en $p_i+\mathit{\Delta_i}/2$ y $p_i'+\mathit{\Delta_i}'/2$ )

Esto es lo primero que no entiendo.

Yo lo haría: $$\omega(\xi_{\alpha}^1,\xi_{\beta}^1,\eta_{\alpha}^1,\eta_{\beta}^1)\approx \omega(\xi_{\alpha}^0,\xi_{\beta}^0,\eta_{\alpha}^0,\eta_{\beta}^0)+\frac{\partial \omega}{\partial \xi_{\alpha i}}\frac{\mathit{\Delta_{\alpha}}_i}{2}+\frac{\partial \omega}{\partial \eta_{\alpha i}}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i + \frac{\partial \omega}{\partial \xi_{\beta i}}\frac{\mathit{\Delta_{\beta }}_i}{2}+\frac{\partial \omega}{\partial \eta_{\beta i}}\mathit{\Delta_{\beta }}_i$$ donde $(\xi_{\alpha}^0,\xi_{\beta}^0,\eta_{\alpha}^0,\eta_{\beta}^0) = (p_{\alpha},p_{\beta},0,0)$ ,

$(\xi_{\alpha}^1,\xi_{\beta}^1,\eta_{\alpha}^1,\eta_{\beta}^1) = (p_{\alpha}+\mathit{\Delta_{\alpha}}/2,\ p_{\beta}+\mathit{\Delta_{\beta}}/2,\ \mathit{\Delta_{\alpha}},\ \mathit{\Delta_{\beta}})$
y $(\xi_{\alpha},\xi_{\beta},\eta_{\alpha},\eta_{\beta}) = \left( \frac{p_{\alpha}+\tilde{p_{\alpha}}}{2},\frac{p_{\beta}+\tilde{p_{\beta}}}{2},\tilde{p_{\alpha}}-p_{\alpha},\tilde{p_{\beta}}-p_{\beta} \right)$ .

Parece legítimo, porque: $$\left ( \frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p}} \right )_p = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \xi} \right )_{\eta} \left ( \frac{\partial \xi}{\partial \tilde{p}} \right )_p + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \eta} \right )_{\xi} \left ( \frac{\partial \eta}{\partial \tilde{p}} \right )_p = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \xi} \right )_{\eta} \cdot \frac{1}{2} + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \eta} \right )_{\xi} \cdot 1$$

2 pasos

Escribe la serie como: $$\omega \left( p_{\alpha}+\frac{\mathit{\Delta_{\alpha}}}{2},p_{\beta}+\frac{\mathit{\Delta_{\beta}}}{2},\mathit{\Delta_{\alpha}},\mathit{\Delta_{\beta}} \right) = \omega \left( p_{\alpha},p_{\beta},\mathit{\Delta_{\alpha}},\mathit{\Delta_{\beta}} \right) + \frac{\partial \omega}{\partial p_{\alpha i}}\frac{\mathit{\Delta_{\alpha}}_i}{2} + \frac{\partial \omega}{\partial p_{\beta i}}\frac{\mathit{\Delta_{\beta}}_i}{2}$$

Esto nos lleva a varias preguntas. ¿Por qué hay:

• $\omega \left( p_{\alpha},p_{\beta},\mathit{\Delta_{\alpha}},\mathit{\Delta_{\beta}} \right)$ en lugar de $\omega (p_{\alpha},p_{\beta},0,0)$ ;
• $\frac{\partial \omega}{\partial p_i}$ en lugar de $\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_i}}$ (sin tilde en lugar de tilde);
• $\frac{\mathit{\Delta}_i}{2}$ en lugar de $\mathit{\Delta}_i$ ?

3 pasos

Se integra por partes sobre $d^3p_{\beta}$ : $$\iiint \frac{\partial \omega}{\partial p_{\beta i}}\frac{\mathit{\Delta_{\beta}}_i}{2} \left(f_{\alpha}\frac{\partial f_{\beta}}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i + f_{\beta}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i \right)d^3p_{\beta}d^3\tilde{p_{\alpha}}d^3\tilde{p_{\beta}}$$ que es legítimo si los pasos anteriores son legítimos.

Disculpe la larga descripción. ¿Podría ayudarme con el problema? ¿O tal vez aconsejar una buena literatura?

Answer 1

Parece que he encontrado una solución. Pero todavía no puedo entender por qué Landau escribe $\omega \left( p_{\alpha},p_{\beta},\mathit{\Delta_{\alpha}},\mathit{\Delta_{\beta}} \right)$ en lugar de $\omega (p_{\alpha},p_{\beta},0,0)$ . Tal vez realmente quería hacer la primera integral cero, porque usó esa $\omega \left( p_{\alpha},p_{\beta},\mathit{\Delta_{\alpha}},\mathit{\Delta_{\beta}} \right)$ es la función impar relativamente a $\mathit{\Delta_{\alpha}},\mathit{\Delta_{\beta}}$ pero olvidó que no es posible conseguir esa expresión. De todos modos, aquí están mis pensamientos.

Deberíamos utilizar el siguiente hecho: $$\omega(p_{\alpha},p_{\beta},\tilde{p_{\alpha}},\tilde{p_{\beta}})=\omega(\tilde{p_{\alpha}},\tilde{p_{\beta}},p_{\alpha},p_{\beta})$$ Significa que la probabilidad del proceso directo ( $p_{\alpha},p_{\beta}\rightarrow \tilde{p_{\alpha}},\tilde{p_{\beta}}$ ) es igual a la probabilidad del proceso inverso ( $\tilde{p_{\alpha}},\tilde{p_{\beta}}\rightarrow p_{\alpha},p_{\beta}$ ). Por lo tanto: $$\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\alpha}}}=\frac{\partial \omega}{\partial p_{\alpha}},\quad \frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\beta}}}=\frac{\partial \omega}{\partial p_{\beta}}$$ O en forma general: $$\left ( \frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p}} \right )_p =\left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\tilde{p}} \tag{1}$$ Recordemos la expresión de las derivadas a través de $\xi,\eta$ : $$\left ( \frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p}} \right )_p = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \xi} \right )_{\eta} \left ( \frac{\partial \xi}{\partial \tilde{p}} \right )_p + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \eta} \right )_{\xi} \left ( \frac{\partial \eta}{\partial \tilde{p}} \right )_p = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \xi} \right )_{\eta} \cdot \frac{1}{2} + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \eta} \right )_{\xi} \cdot 1$$ $$\left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\tilde{p}} = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \xi} \right )_{\eta} \left ( \frac{\partial \xi}{\partial \tilde{p}} \right )_{\tilde{p}} + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \eta} \right )_{\xi} \left ( \frac{\partial \eta}{\partial \tilde{p}} \right )_{\tilde{p}} = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \xi} \right )_{\eta} \cdot \frac{1}{2} + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \eta} \right )_{\xi} \cdot (-1)$$ Por lo tanto, (1) es cierto si $\left ( \frac{\partial \omega}{\partial \eta} \right )_{\xi}=0$ .

Escribamos las derivadas también a través de $p,\mathit{\Delta}$ : $$\left ( \frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p}} \right )_p = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\mathit{\Delta}} \left ( \frac{\partial p}{\partial \tilde{p}} \right )_p + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \mathit{\Delta}} \right )_p \left ( \frac{\partial \mathit{\Delta}}{\partial \tilde{p}} \right )_p = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\mathit{\Delta}} \cdot 0 + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \mathit{\Delta}} \right )_p \cdot 1 \tag{2}$$ $$\left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\tilde{p}} = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\mathit{\Delta}} \left ( \frac{\partial p}{\partial p} \right )_{\tilde{p}} + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \mathit{\Delta}} \right )_p \left ( \frac{\partial \mathit{\Delta}}{\partial p} \right )_{\tilde{p}} = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\mathit{\Delta}} \cdot 1 + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial \mathit{\Delta}} \right )_p \cdot (-1) \tag{3}$$ Utilizando (1), (2), (3) obtenemos: $$2\left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\tilde{p}}=\left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\mathit{\Delta}}$$ Finalmente, podemos obtener: $$\left ( \frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p}} \right )_p = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial \omega}{\partial \xi} \right )_{\eta} = \left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\tilde{p}} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial \omega}{\partial p} \right )_{\mathit{\Delta}}$$ $$\omega(p_{\alpha},p_{\beta},\tilde{p_{\alpha}},\tilde{p_{\beta}})\approx \omega(p_{\alpha},p_{\beta},p_{\alpha},p_{\beta})+\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i+\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i = \omega(p_{\alpha},p_{\beta},p_{\alpha},p_{\beta}) + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial p_{\alpha i}} \right )_{\mathit{\Delta_{\alpha}}}\frac{\mathit{\Delta_{\alpha}}_i}{2} + \left ( \frac{\partial \omega}{\partial p_{\beta i}} \right )_{\mathit{\Delta_{\beta}}}\frac{\mathit{\Delta_{\beta}}_i}{2}$$ Ahora la integración $$\iiint \frac{\partial \omega}{\partial p_{\beta i}}\frac{\mathit{\Delta_{\beta}}_i}{2} \left(f_{\alpha}\frac{\partial f_{\beta}}{\partial \tilde{p_{\beta}}_i}\mathit{\Delta_{\beta}}_i + f_{\beta}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \tilde{p_{\alpha}}_i}\mathit{\Delta_{\alpha}}_i \right)d^3p_{\beta}d^3\mathit{\Delta_{\alpha}}d^3\mathit{\Delta_{\beta}}$$ es legítimo.