¿Cuál es el mínimo diámetro de la circunferencia circunscrita sobre el triángulo formado por los puntos centrales de tres de congruencia de triángulos equiláteros que no se superponen? El diagrama es la mejor solución que he encontrado hasta ahora. Si los triángulos tienen un lado de longitud 1, el círculo tiene un diámetro 0.853.
Tomé el triángulo derecho (verde) y girar alrededor de su centro. Luego pasé alrededor de modo que no se superpongan con cualquiera de los otros dos triángulos y encontrar una posición en la que su centro está dentro de la circunferencia circunscrita de su solución. Creo que esto significa que la distribución de los triángulos tiene una menor circunferencia circunscrita solución. No estoy seguro de si esto es debido a las imperfecciones de mi dibujo o si es en realidad una pequeña circunferencia circunscrita.
Por supuesto, esto no es una respuesta concluyente, porque es sólo otro intento. Pero tal vez esto podría ayudar a inspirar a pensar en una dirección diferente. Tal vez hay algo especial cuando los bordes de los triángulos están tocando.
Como otros han sugerido, que se desliza a la derecha del triángulo hacia abajo, mientras que mantener el contacto entre los bordes del triángulo.
Si usted deslícela hasta los tres centros de formar un ángulo recto de un triángulo, el diámetro requerido $D$ es la hipotenusa de este triángulo.
La distancia de cada triángulo centro de su base es$\frac 13\times\frac{\sqrt{3}}{2}$, y la distancia entre los dos triángulo inferior de los centros es, por aplicación de la semejanza de triángulos, $\frac 23$.
Entonces, debido a Pitágoras, $$D^2=(2\times\frac{\sqrt{3}}{6})^2+(\frac 23)^2=\frac 79$$ Así que en este caso $D=\frac{\sqrt{7}}{3}$
Mientras esto no prueba que este valor es mínimo, es menor que el valor que se encuentra desde el OP del diagrama original, es decir, $\frac{9+\sqrt{3}}{12}$
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