¿Cómo se construye una biyección desde (0,1) a los irracionales en (0,1)?
O si estoy haciendo bien mi notación, ¿puede proporcionar una función explícita $f:(0,1)\rightarrow(0,1)\backslash\mathbb{Q}$ tal que $f$ es una biyección?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(1) Elija un conjunto infinito de números irracionales en $(0,1)$, llámelos $(r_n)_{n\geqslant0}$.
(2) Enumerar los números racionales en $(0,1)$ como $(q_n)_{n\geqslant0}$.
(3) Definir $f$ por $f(q_n)=r_{2n+1}$ para cada $n\geqslant0$, $f(r_n)=r_{2n}$ para cada $n\geqslant0$, y $f(x)=x$ para cada número irracional $x$ que no aparezca en la secuencia $(r_n)_{n\geqslant0}$.
Permítame sugerirle que lo tome desde aquí y muestre que $f$ es una bijección entre $(0,1)$ y $(0,1)\setminus\mathbb Q$.
