Hallar los lados de un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo dada una relación de aspecto

Question

Todo lo que he encontrado en google/se ha referido a encontrar un rectángulo de área máxima, independientemente de la relación de aspecto.

Estoy intentando inscribir un rectángulo dentro de un triángulo rectángulo. No conozco la anchura ni la altura del rectángulo, pero sí la relación de aspecto.

Mi corazonada es que necesito encontrar donde w^2 + h^2 de mi rectángulo coinciden con la distancia de la esquina a la hipotenusa de mi triángulo delimitador. Por desgracia, he olvidado la mayor parte de la geometría que tomé en la escuela secundaria y no puedo averiguar cómo iba a hacer esto, y mis esfuerzos para encontrar una solución en Google han producido en su mayoría sólo soluciones de área máxima sin la restricción de relación de aspecto fijo que tengo.

He publicado una pregunta relacionada en SO que entra en más detalle de lo que estoy tratando de hacer: https://stackoverflow.com/questions/33509077/dynamic-resize-image-to-different-sizes-with-paperclip-based-on-aspect-ratio

Answer 1

Que la relación de aspecto sea $m$ . Coloca el triángulo en el plano de coordenadas con el ángulo recto en el origen y los catetos a lo largo de los ejes de coordenadas. Toma la recta $y=mx$ y extiéndela hasta que llegue a la hipotenusa. Eso te da una diagonal para tu rectángulo.

Nota: si, en lugar de una relación de aspecto explícita, sólo tienes un rectángulo con la relación correcta (pero la escala incorrecta), entonces coloca tu rectángulo en el mismo plano de coordenadas, con una esquina en el origen y los lados alineados con los ejes de coordenadas. Entonces la diagonal de ese rectángulo es la línea que quieres.

Answer 2

Digamos que los vértices del triángulo rectángulo están en el origen, en el $x$ -eje en $x=a$ y en el $y$ eje en $y=b$ . La hipotenusa tiene la ecuación $y = -\frac{b}{a}x + b.$ Esto describe un triángulo rectángulo con lados $a,b,\sqrt{a^2+b^2}$ en el primer cuadrante.

Entonces, una diagonal de su rectángulo inscrito será $y = mx$ .

Editar: Para aclarar, $m$ es la pendiente de la línea que define lo que será la diagonal del rectángulo. Si $0<m<1$ el rectángulo es más ancho que alto; si $m=1$ es un cuadrado; si $m>1$ es más alto que ancho. La relación de aspecto del triángulo rectángulo, de forma similar, es $b/a$ . Si $a=b$ es un triángulo rectángulo isósceles.

Puedes resolver estas dos ecuaciones para $x$ y $y$ que serán los dos lados de su rectángulo inscrito en términos de $a,b,m$ :

$$x = \frac{ba}{ma+b};$$ $$y = \frac{mba}{ma+b}.$$

Dependiendo del lado que elijas estar $a$ y que eligió ser $b$ Esto puede o no dar el área más grande, así que pruebe ambos (o vea si puede entender cuál le dará el valor más grande).