$\{X_1,X_2,...\}$ es uniformemente integrable. Demostrar que $\mathbb{E}X_n \rightarrow \mathbb{E}X$ comme $n \rightarrow \infty$ .

Question

Supongamos que $X_n \rightarrow X$ a.s. como $n \rightarrow \infty$ y que $X_n \geq0$ para todos $n, \omega$ . Además, $\{X_1,X_2,...\}$ es uniformemente integrable. Demostrar que $\mathbb{E}X_n \rightarrow \mathbb{E}X$ comme $n \rightarrow \infty$ .

Sé que una secuencia de variables aleatorias converge casi con seguridad a $X$ si para cada $\epsilon > 0$ tenemos \begin{equation} P(\lim_{n \rightarrow \infty}|X_n - X|< \epsilon) = 1 \end{equation}

Pero no estoy seguro de cómo proceder. Se agradecerían mucho algunos consejos.

Answer 1

Siempre puedes escribir

$$ \mathbb{E}\big[ \vert X_n-X \vert \big]= \int_F\vert X_n-X\vert dP+ \int_{F^c}\vert X_n-X\vert dP\leq \int_{F} \vert X_n\vert dP+ \int_F \vert X\vert dP+ \int_{F^c}\vert X_n-X\vert dP$$

Desde $X$ es integrable y $\{X_n\}$ es unifromemente integrable, para cada $\epsilon>0$ existe $\delta_\epsilon>0$ tal que

$$ \int_F\vert X_n\vert dP<\epsilon \quad \text{and} \quad \int_F\vert X\vert dP<\epsilon $$ si $P(F)<\delta_\epsilon$ . Utilizando la convergencia casi segura, sabemos que

$$ P( \vert X_n-X\vert>\epsilon )\to0. $$

Por lo tanto, para $n$ lo suficientemente grande tenemos $ P( \vert X_n-X\vert>\epsilon )<\delta_\epsilon$ y por lo tanto

$$ \mathbb{E}\big[ \vert X_n-X \vert \big] \leq \int_{ \{ \vert X_n-X\vert>\epsilon \}} \vert X_n\vert dP+ \int_{ \{ \vert X_n-X\vert>\epsilon \} } \vert X\vert dP+ \int_{\{ \vert X_n-X\vert\leq\epsilon \}}\vert X_n-X\vert dP < $$

$$ < 2\epsilon+ \int_{\{ \vert X_n-X\vert\leq\epsilon \}} \epsilon\cdot dP\leq 3\epsilon. $$

Esto es válido para todos los $\epsilon>0$ Así que $\mathbb{E}[X_n]\to \mathbb{E}[X]$ .

Answer 2

Otro enfoque (similar) es el siguiente.

Por cada $\epsilon > 0$ , elija $K(\epsilon)$ para que $E[|X_n|1_{X_n\geq K(\epsilon)}]<\epsilon$ y $E[|X|1_{X\geq K(\epsilon)}] < \epsilon$ (esto es simplemente aplicar la definición de IU a $\{ X_n \}_n \cup \{X\}$ . Calcula

$$ \begin{align} E|X_n-X| \leq & E[|X_n-X|1_{X_n, X \leq K(\epsilon)}] \\ + &E[|X_n|1_{X_n > K(\epsilon), X \leq K(\epsilon)}] \\ +& E[|X_n|1_{X_n \leq K(\epsilon), X > K(\epsilon)}] \\ +& E[|X|1_{X_n > K(\epsilon), X \leq K(\epsilon)}]\\ +& E[|X|1_{X_n \leq K(\epsilon), X > K(\epsilon)}]\\ \leq &E[|X_n-X|1_{X_n, X \leq K(\epsilon)}] \\ + & E[|X_n|1_{X_n > K(\epsilon)}] \\ +&E[|X|1_{X > K(\epsilon)}] \\ +& E[|X_n|1_{X_n > K(\epsilon)}] \\ +&E[|X|1_{X > K(\epsilon)}] \\ \leq &E[|X_n-X|1_{X_n, X \leq K(\epsilon)}] + 4\epsilon. \end{align} $$

Envío de $n \to \infty$ encontramos $$ \limsup_n E|X_n-X| \leq 4\epsilon. $$ Ahora envía $\epsilon \to 0$ .