Calcular los automorfismos de la torre de campos

Question

Supongamos que tenemos la siguiente torre de campos: $\mathbb Q \subset \mathbb Q(\sqrt{2}) \subset \mathbb Q(\sqrt[4]{2})$ . Calcular Aut $(\mathbb Q(\sqrt{2})/\mathbb Q)$ , Aut $(\mathbb Q(\sqrt[4]{2})/\mathbb Q(\sqrt{2}))$ y Aut $(\mathbb Q(\sqrt[4]{2})/\mathbb Q)$ . ¿Qué ves?

No sé cómo hacer esto, por favor, ayuda.

Answer 1

En el primer caso, hay que determinar los automorfismos $\Bbb Q(\sqrt{2})\to\Bbb Q(\sqrt{2})$ que actúan como identidad en $\Bbb Q$ . En la segunda, debes determinar los automorfismos $\Bbb Q(\sqrt[4]{2})\to\Bbb Q(\sqrt[4]{2})$ que actúan como identidad en $\Bbb Q(\sqrt{2})$ .

Supongamos que $f$ es un automorfismo de $\Bbb Q(\sqrt 2)$ que actúa como identidad en $\Bbb Q$ . Tomando un elemento arbitrario $a+b\sqrt2$ de $\Bbb Q(\sqrt2)$ , donde $a,b$ son racionales, entonces tenemos $$f(a+b\sqrt{2})=f(a)+f(b)f(\sqrt2)=a+bf(\sqrt 2).$$ Así, los miembros de $\text{Aut}(\Bbb Q(\sqrt2)/\Bbb Q)$ están completamente determinados por el lugar al que envían $\sqrt{2}$ . ¿Qué opciones hay para ello, dado que $f(2)=2$ ?

Una idea similar es válida para $\text{Aut}(\Bbb Q(\sqrt[4]2)/\Bbb Q(\sqrt2)),$ ya que nuestros elementos arbitrarios de $\Bbb Q(\sqrt[4]2)$ será de la forma $$a+b\sqrt[4]2+c\sqrt2+d\sqrt[4]8=a+c\sqrt2+(b+d\sqrt2)\sqrt[4]2,$$ donde $a,b,c,d\in\Bbb Q$ y como necesitaremos $f(\sqrt2)=\sqrt2.$