Actualmente estoy haciendo un proyecto y durante el curso de la necesito para obtener una respuesta a la siguiente:
Qué ∫∞esinxxlnxdx converge/ absolutamente convergen/divergen?
Gracias.
Actualmente estoy haciendo un proyecto y durante el curso de la necesito para obtener una respuesta a la siguiente:
Qué ∫∞esinxxlnxdx converge/ absolutamente convergen/divergen?
Gracias.
La integral converge, pero no absolutamente.
Un elemental método es considerar, para cada n⩾, I_n=(-1)^n\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}{x\log x}\text{d}x, para demostrar que la secuencia de (I_n)_{n\geqslant3} es decreciente y converge a cero y comparar cada integral \int\limits_{\mathrm e}^{z}\frac{\sin x}{x\log x}\text{d}x=\int\limits_{\mathrm e}^{3}\frac{\sin x}{x\log x}\text{d}x+\int\limits_{3}^{z}\frac{\sin x}{x\log x}\text{d}x, a una suma parcial de la alternancia de la serie \sum\limits_{n\geqslant3}(-1)^nI_n.
El hecho de que la integral no converge absolutamente puede ser deducido a partir de la estimación de I_n=\Theta(1/(n\log n)) y a partir de la divergencia de la serie \sum\limits_{n\geqslant3}1/(n\log n).
Sugerencias Deje n\geqslant3a_n=1/(n\log n).
(1) a partir de |\sin|\leqslant1, I_n\leqslant\pi a_n.
(2) Desde |\sin|\geqslant1/\sqrt2 en un intervalo de longitud de \pi/2 incluido en (n\pi,(n+1)\pi) (¿cuál?), I_n\geqslant(\pi\sqrt2/4) a_{n+1}.
(3) se puede escribir cada una de las I_n como la integral sobre la x (0,\pi) de la función de x\mapsto\sin(x)g_n(x) para una función elegida g_n, y el estudio de la secuencia de (g_n)_{n\geqslant3}.
La convergencia condicional también puede ser manejada mediante la versión integral de Dirichlet de la Prueba,
Supongamos f es monótona decreciente de la función de modo que \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0 g ser una función integrable, de modo que \sup\limits_{x>a}\left|\int_a^xg(t)\;\mathrm{d}t\right|\le G<\infty. A continuación, \left|\int_a^\infty f(x)g(x)\;\mathrm{d}x\right|\le f(a)G.
Esto se muestra también usando integración por partes: vamos a I(x)=\int_a^xg(x)\;\mathrm{d}x\le G, luego \begin{align} \left|\int_a^\infty f(x)g(x)\;\mathrm{d}x\right| &\le\left|\lim_{x\to\infty}f(x)I(x)\right|+\left|f(a)I(a)\right|+\left|\int_a^\infty f'(x)I(x)\;\mathrm{d}c\right|\\ &\le0+0+\int_a^\infty -f'(x)G\;\mathrm{d}x\\ &=f(a)G \end{align} QED
En este caso, f(x)=\dfrac{1}{x\log(x)}g(x)=\sin(x). Desde \int_a^x \sin(t)\mathrm{d}t=\cos(a)-\cos(x)\cos(x)\in[-1,1], la integral converge y su valor no es mayor que 2/e.
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