Convergencia/Divergencia de $\int_e^\infty \frac{\sin x}{x \ln x}\;dx$

Question

Actualmente estoy haciendo un proyecto y durante el curso de la necesito para obtener una respuesta a la siguiente:

Qué $\displaystyle \int_e^\infty \frac{\sin x}{x \ln x}\;dx$ converge/ absolutamente convergen/divergen?

Gracias.

Answer 1

La integral converge, pero no absolutamente.

Un elemental método es considerar, para cada $n\geqslant3$, $$I_n=(-1)^n\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}{x\log x}\text{d}x,$$ para demostrar que la secuencia de $(I_n)_{n\geqslant3}$ es decreciente y converge a cero y comparar cada integral $$\int\limits_{\mathrm e}^{z}\frac{\sin x}{x\log x}\text{d}x=\int\limits_{\mathrm e}^{3}\frac{\sin x}{x\log x}\text{d}x+\int\limits_{3}^{z}\frac{\sin x}{x\log x}\text{d}x,$$ a una suma parcial de la alternancia de la serie $\sum\limits_{n\geqslant3}(-1)^nI_n$.

El hecho de que la integral no converge absolutamente puede ser deducido a partir de la estimación de $I_n=\Theta(1/(n\log n))$ y a partir de la divergencia de la serie $\sum\limits_{n\geqslant3}1/(n\log n)$.

Sugerencias Deje $n\geqslant3$$a_n=1/(n\log n)$.

(1) a partir de $|\sin|\leqslant1$, $I_n\leqslant\pi a_n$.

(2) Desde $|\sin|\geqslant1/\sqrt2$ en un intervalo de longitud de $\pi/2$ incluido en $(n\pi,(n+1)\pi)$ (¿cuál?), $I_n\geqslant(\pi\sqrt2/4) a_{n+1}$.

(3) se puede escribir cada una de las $I_n$ como la integral sobre la $x$ $(0,\pi)$ de la función de $x\mapsto\sin(x)g_n(x)$ para una función elegida $g_n$, y el estudio de la secuencia de $(g_n)_{n\geqslant3}$.

Answer 2

La convergencia condicional también puede ser manejada mediante la versión integral de Dirichlet de la Prueba,

Supongamos $f$ es monótona decreciente de la función de modo que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$ $g$ ser una función integrable, de modo que $\sup\limits_{x>a}\left|\int_a^xg(t)\;\mathrm{d}t\right|\le G<\infty$. A continuación, $\left|\int_a^\infty f(x)g(x)\;\mathrm{d}x\right|\le f(a)G$.

Esto se muestra también usando integración por partes: vamos a $I(x)=\int_a^xg(x)\;\mathrm{d}x\le G$, luego $$\begin{align} \left|\int_a^\infty f(x)g(x)\;\mathrm{d}x\right| &\le\left|\lim_{x\to\infty}f(x)I(x)\right|+\left|f(a)I(a)\right|+\left|\int_a^\infty f'(x)I(x)\;\mathrm{d}c\right|\\ &\le0+0+\int_a^\infty -f'(x)G\;\mathrm{d}x\\ &=f(a)G \end{align}$$ QED

En este caso, $f(x)=\dfrac{1}{x\log(x)}$$g(x)=\sin(x)$. Desde $\int_a^x \sin(t)\mathrm{d}t=\cos(a)-\cos(x)$$\cos(x)\in[-1,1]$, la integral converge y su valor no es mayor que $2/e$.