Solo tengo curiosidad por este tema. Realmente no sé por dónde empezar, cualquier ayuda sería apreciada gracias.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- ¿Cómo se encuentran todos $n$ tal que $\phi(n)|n$ (2 respuestas )
Respuesta
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Tharain Ami Amyna
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Claramente, es cierto para $t = 1$ . Considere $t > 1$ .
Dejemos que $t = p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ sea la factorización primaria de $t$ . Entonces, tenemos
$$\varphi(t) = t\left(1 - \dfrac{1}{p_1}\right)\cdots\left(1 - \dfrac{1}{p_n}\right).$$
Por lo tanto, se necesitaría
$$\left[\left(1 - \dfrac{1}{p_1}\right)\cdots\left(1 - \dfrac{1}{p_n}\right)\right]^{-1}$$
sea un número entero. Lo anterior puede escribirse como
$$\dfrac{p_1}{p_1 - 1}\cdots\dfrac{p_n}{p_n - 1}.$$
Si $n = 1$ entonces sólo tenemos $p_1/(p_1 - 1)$ . Esto obliga claramente a $p_1 = 2$ . (De lo contrario, el denominador sería par y el numerador impar.) Así, todos los números de la forma $2^a$ para $a \ge 1$ trabajo.
Ahora, si $n = 2$ entonces tenemos $\dfrac{p_1}{p_1 - 1}\dfrac{p_2}{p_2 - 1}$ .
Una vez más, uno de los primos se ve obligado a ser $2$ . Diga $p_1 = 2$ . Entonces, la expresión se simplifica a
$$\dfrac{2p_2}{p_2 - 1}.$$
Tenga en cuenta que $p_2 - 1$ y $p_2$ son coprimos y por lo tanto, debemos tener $p_2 - 1 \mid 2$ . Esto obliga a $p_2 = 3$ . Así, tenemos números de la forma $2^a3^b$ donde $a, b \ge 1$ .
Si $n > 2$ entonces no tenemos soluciones. Los denominadores tendrían al menos dos potencias de $2$ mientras que el numerador puede tener como máximo 1.
Para concluir tenemos el siguiente conjunto:
$$t \in \{1\} \cup \{2^a : a \ge 1\} \cup \{2^a3^b : a, b \ge 1\}.$$ (Probablemente esto podría escribirse de forma más concisa, pero así queda más claro. Tenga en cuenta que los números de la forma $3^b$ para $b \ge 1$ son no soluciones).
