¿Cómo podría establecer la identidad $\frac{\cot\theta + \sec\theta}{\cos\theta + \tan\theta} = \sec\theta \cot\theta\,$ ?

Question

Establecer la identidad: $$\dfrac{\cot\theta + \sec\theta}{\cos\theta + \tan\theta} = \sec\theta \cot\theta$$

El primer paso que obtuve fue: $$\sec\theta \cot\theta = \dfrac{\sec\theta \cot\theta\,\big(\cos\theta + \tan\theta\big)}{\cos\theta + \tan\theta}$$

Entonces me dice que reescriba el factor $$\cos\theta + \tan\theta$$ en el numerador utilizando identidades recíprocas.

¿Cómo lo haría? Este es el aspecto del problema de los deberes: introduzca aquí la descripción de la imagen

Answer 1

Una pista: $$\cot\theta + \sec\theta = \frac{1}{\tan\theta} + \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\cos\theta + \tan\theta}{\tan\theta\cos\theta}$$

Answer 2

Por un lado

\begin{align} \dfrac{\cot\theta + \sec\theta}{\cos\theta + \tan\theta} &= \dfrac{\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} + \dfrac{1}{\cos\theta}}{\cos\theta + \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \dfrac{\cos^2\theta+\sin\theta}{\sin\theta\cos\theta} \div\dfrac{\cos^2\theta+\sin\theta}{\cos\theta} \\ &= \dfrac{\cos^2\theta+\sin\theta}{\sin\theta\cos\theta} \cdot \dfrac{\cos\theta}{\cos^2\theta+\sin\theta}\\ &= \dfrac{1}{\sin\theta}. \end{align}

Por otro lado,

\begin{align} \sec\theta\cot\theta &= \dfrac{1}{\cos\theta}\cdot\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta} . \end{align}

Así, hemos demostrado que

$$\bbox[1ex, border:2pt solid #e10000]{\dfrac{\cot\theta + \sec\theta}{\cos\theta + \tan\theta} = \sec\theta \cot\theta}$$

Answer 3

Continuando con lo que tienes:

$$\sec\theta \cot\theta = \dfrac{\sec\theta \cot\theta\,\big(\cos\theta + \tan\theta\big)}{\cos\theta + \tan\theta}$$

y como $\sec \theta \cos \theta = 1, \cot \theta \tan \theta = 1$ , amplíe los paréntesis:

$$\sec\theta \cot\theta = \frac{\cot \theta + \sec \theta}{\cos \theta + \tan \theta}$$

No es necesario reescribir $\sec \theta \cot \theta$ .