Ejercicio con cambio de base del producto tensorial

Question

Estoy refrescando mis conocimientos de la teoría de Galois y pensando en las extensiones de Galois y los campos de división. Supongamos que $k$ es un campo de tierra, $P$ es un polinomio de grado $n$ con un campo de división $K$ y $K_j$ son campos intermedios ( $K_1=k$ , $K_2=k[x]/P$ etc.).

Mi hipótesis es que $K\otimes_k K \simeq K \otimes_{K_{n-1}} K$ .

Creo que se puede deducir directamente de la propiedad de cambio de base del producto tensorial ( $A\otimes_C B \simeq (A\otimes_C D)\otimes_D B$ ), pero aparece algún problema.

$$K\otimes_{K_{n-1}}K_n \simeq (K\otimes_{K_{n-1}} K_{n-2})\otimes_{K_{n-2}}K_n$$ y no tengo ni idea de cómo proceder para $K\otimes_k K$ de este paso.

Sería estupendo que alguien me dijera si es realmente cierto y, si lo es, que me ayude a terminar de probarlo.

Answer 1

Para responder a su pregunta años más tarde y sacar esto de la cola de los sin respuesta, esto será el caso si y sólo si $k\to K_{n-1}$ es un isomorfismo.

Recordemos que si $L/K$ es una extensión de campo, y $V$ y $W$ son de dimensión finita $L$ -espacios vectoriales, entonces tenemos $$\dim_L(V\otimes_L W) = \dim_L(V)\dim_L(W)$$ y $$\dim_K(V) = [L:K]\dim_L(V).$$

Dejemos que $[K_{n-1}:k] = d$ . Tenemos $$\deg_k(K\otimes_{K_{n-1}} K) = d\deg_{K_{n-1}}(K\otimes_{K_{n-1}}K) = d[K:K_{n-1}]^2,$$ mientras que $$\deg_k(K\otimes_k K) = [K:k]^2 = ([K:K_{n-1}][K_{n-1}:k])^2 = d^2[K:K_{n-1}]^2.$$ Estas dos cantidades serán iguales si y sólo si $d = d^2,$ que es verdadera si y sólo si $d = 1.$