Supongamos que $f:M\to N$ es una inmersión entre variedades suaves $M$ y $N$ de la misma dimensión donde $M$ es compacto y $N$ está conectado. Cómo demostrar que $f$ es subjetivo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Puede demostrar que $f(M)$ es tanto abierto como cerrado en $N$ . Desde $N$ está conectado, esto implica que $f(M)=N$ .
Comprobemos primero que $f(M)\subset N$ está cerrado. Desde $M$ es compacto y $f$ es continua, también $f(M)\subset N$ es compacto. Como $N$ es Hausdorff, esto implica que $f(M)\subset N$ está cerrado.
A continuación, comprobamos que $f(M)\subset N$ está abierto. Elija un punto $f(p)\in f(M)$ . Desde $f$ es una inmersión y $\dim(M)=\dim(N)$ el diferencial $(df)_{p}$ es un isomorfismo. Por el teorema de la función inversa, existe una vecindad abierta $U$ de $p$ tal que $f(U)$ es una vecindad abierta de $f(p)$ . Desde $f(U)$ está contenida en $f(M)$ Esto demuestra que $f(M)\subset N$ está abierto.
