En una (pseudo)-Riemann colector $(M,g)$, además de la métrica $g_{a b}$, hay una familia de tensores naturales, es decir, la curvatura de Riemann $R_{abcd}$ y su covariante derivados $R^{(k)}{}_{a b c d p_1 \dots p_k} := \nabla_{p_1}\dots\nabla_{p_k} R_{abcd}$ para cualquier finito $k$. Todos estos tensores se pueden utilizar como los símbolos naturales de Riemann operadores diferenciales. Yo uso el resumen del índice de notación, vea más sobre ella aquí y aquí.
"Natural" es, a grandes rasgos, el sinónimo de "desplazamientos con diffeomeorhisms" (ver $[1]$), o "... con isometrías", como en $[2]$.
El Laplaciano $\Delta t := g^{ab} \nabla_a \nabla_b t$ es un operador diferencial con el símbolo $g^{a b}$, que es la inversa de la métrica $g^{-1}$. Aquí $t$ puede ser una función o un tensor arbitrario (con los índices suprimida). Este no es el único natural diferencial operador de (pseudo)-Riemann colectores con este símbolo. Tales operadores de formar una familia conocida como generalizada Laplacians.
Es bien sabido, sin embargo, que todos los (escalares) natural de los operadores diferenciales en un (pseudo)-Riemann colector se puede obtener como combinación lineal de (completar) las contracciones de monomials de la forma
$$
g^{-1} \otimes \dots \otimes g^{-1} \{\otimes \epsilon \otimes \} \otimes R^{(l_1)} \otimes \dots R^{(l_r)} \otimes \nabla_{a_1} \dots \nabla_{a_s} \etiqueta{*}
$$
donde $\{\otimes \epsilon \otimes \}$ indica un factor opcional, la de Riemann densidad de volumen (= forma de volumen en un orientable del colector). Una prueba se puede encontrar en $[3]$. Ver también esta respuesta para una pregunta relacionada.
Así, por ejemplo, el operador $Ric^{a b} \nabla_a \nabla_b$ natural (pseudo-)de Riemann operador, que es conmuta con todas las isometrías de $(M,g)$.
El mencionado hecho implica claramente el teorema, citado por Jesse, porque la única posibilidad en $(*)$ a un contrato de la métrica $g^{a_ i a_j}$ con dos instancias de $\nabla_{a_i}$ $\nabla_{a_j}$ de la de Levi-Civita de conexión de los rendimientos de un Laplaciano (en el Eulcidean caso de desplazamientos de los derivados no producir curvaturas).
Una introducción moderna (y la canónica de referencia) a este círculo de preguntas es $[4]$.
Las REFERENCIAS.
M. Atiyah, R. Bott, V. K. Patodi, En la ecuación del calor y el índice de
teorema, Inventiones Mathematicae, 1973, 19(4), pp 279-330
D. B. A. Epstein, Natural de tensores de Riemann colectores, J.
Diferencial Geom., 1975, 10(40), pp 631-645
P. Stredder, Natural de operadores diferenciales de Riemann
los colectores y las representaciones de la ortogonales y especial
ortogonal grupos, J. Diferencial Geom., 1975, 10(4), pp 647-660
I. Kolar, P. W. Michor, J. eslovaca, Natural de Operaciones en el Diferencial
La Geometría, Springer, 1993.
