Encontrar los valores iniciales con la ayuda del método de los mínimos cuadrados

Question

$D: \begin{bmatrix}1&4.19\\2&3.40\\3&2.80\\4&2.30\\5&1.99\\6&1.70\\7&1.51\\8&1.34\\9&1.21\\10&1.09\end{bmatrix}$

En esta tabla de datos la primera columna representa el tiempo (en minutos), y la segunda la masa de algún elemento.

• El elemento consta de dos tipos de isótopos que decaen rápidamente.

• El primer isótopo tiene una vida media de 3 minutos y el segundo de 8 minutos.

¿Cómo puedo calcular la masa inicial de los dos isótopos utilizando el método de mínimos cuadrados en esta tabla de datos?

Utilizaré Wolfram Mathematica para los cálculos

Answer 1

La ecuación es

$$M(t)=Ae^{-\frac{\ln{2}}{3}t}+Be^{-\frac{\ln{2}}{8}t}$$

El método de mínimos cuadrados debe minimizar lo siguiente:

$$\sum (Ae^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i}+Be^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i}-M_i)^2$$

Así que encontramos la derivada de esta función con respecto a $A$ y $B$ y los puso en $0$ :

$$2 \sum (Ae^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i}+Be^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i}-M_i)e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i}=0\\ 2 \sum (Ae^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i}+Be^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i}-M_i)e^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i}=0$$

Esto nos da una $2\times 2$ sistema de ecuaciones lineales con variables $A$ y $B$ . Resuélvelos por la regla de Cramer:

$$A=\frac{\sum M_i e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i}\sum(e^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i})^2-\sum M_i e^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i}\sum e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i-\frac{\ln{2}}{8}t_i}}{\sum(e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i})^2\sum(e^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i})^2-(\sum e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i-\frac{\ln{2}}{8}t_i})^2}$$

$$B=\frac{\sum M_i e^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i}\sum(e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i})^2-\sum M_i e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i}\sum e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i-\frac{\ln{2}}{8}t_i}}{\sum(e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i})^2\sum(e^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i})^2-(\sum e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i-\frac{\ln{2}}{8}t_i})^2}$$

Answer 2

Debería ser valioso especificar el criterio de ajuste. El resultado depende de ello.

Por ejemplo, se pueden comparar resultados diferentes en las dos hojas de cálculo numérico: una para la menor desviación media cuadrática absoluta, la otra para la menor desviación media cuadrática relativa.

Answer 3

Este segundo post NO es una respuesta a la pregunta planteada por B. Lee . Por eso lo diferenciaré mucho de mi primer post que es la respuesta propiamente dicha.

Ahora, supondremos que la vida media de los isótopos no está dada en el enunciado del problema. En este caso, tenemos que ajustar una función de la forma : $$m=a\: e^{-p\: t}+b\: e^{-q\: t}$$ donde los parámetros $a\: , \: b\: , \: p\: , \: q\:$ debe calcularse a partir de los datos experimentales.

Se trata de un problema de regresión no lineal que puede resolverse gracias a algunos programas informáticos especializados. Utilizan métodos iterativos de cálculo numérico y requieren estimaciones iniciales para iniciar el proceso.

En el documento se ofrece un método mucho más sencillo, directo (no iterativo) y que no requiere una estimación inicial: https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales

El método numérico, que se muestra con todo detalle en la página 72, conduce directamente al siguiente resultado:

Es sorprendente que el ajuste sea excelente, mucho mejor que el resultado anterior con los valores de vida media proporcionados en la redacción inicial.

Answer 4

Mientras los decaimientos sean fijos, se puede simplificar el problema definiendo $$u_i=e^{-\frac{\ln{2}}{3}t_i}$$ $$v_i=e^{-\frac{\ln{2}}{8}t_i}$$ y entonces los datos se representan simplemente con $$M=A u + B v$$ lo que reduce el problema a un ajuste multilineal por mínimos cuadrados sin intercepción. Esto es básicamente lo mismo que la respuesta de KittyL. El procedimiento de ajuste no requiere estimaciones de ningún parámetro, ya que el modelo es estrictamente lineal con respecto a sus parámetros $A$ y $B$ .

El problema debería ser muy diferente si hay que afinar los decaimientos. En este caso, habría que utilizar la regresión no lineal, pero se podrían utilizar los primeros resultados como valores de partida. Así, el primer ajuste conduce a $$M=3.36869~ e^{-0.231049 t}+1.53112\ e^{-0.0866434 t}$$ que es idéntica a la que dio JJacquelin en la primera parte de su respuesta.

Utilizando estos resultados como estimaciones iniciales para el ajuste del modelo $$M=A e^{at}+B e^{b t}$$ una regresión no lineal completa llevará a $$M=3.83024 e^{-0.305706 x}+1.43649 e^{-0.0447771 x}$$ que se acerca mucho a lo que JJacquelin dio en la segunda parte de su respuesta.

Para el primer modelo, el ajuste $R^2=0.998654$ corresponde a una suma de cuadrados residual igual a $0.0601$ . Para el segundo modelo, el ajuste $R^2=0.999955$ corresponde a una suma de cuadrados residual igual a $0.0015$ que es increíblemente mejor, como ya ha señalado JJacquelin. Pero, como se puede ver, esto realmente cambió significativamente las medias vidas.