Aplicación del teorema de la función implícita.

Question

Tengo el siguiente problema

Considere la ecuación

$$x^3 + xy^2 + y^3 = 1$$

¿Es posible conseguir $x= x(y)$ en el barrio de $(1,0)$ ? ¿Qué pasa con $y = y(x)$ ?

La primera parte, obtener $x=x(y)$ es bastante fácil, acabo de aplicar el teorema, pero la segunda parte me quedé atascado, porque no puedo concluir nada a través del teorema, Así que tengo una pista para tratar:

$$x^3 + xy^2 + y^3 = 1 \iff (x^3)' + x'y^2 + 2yx + 3y^2 = 0$$

Pero no sé lo que se concluye de la ecuación anterior.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para $y=y(x)$ para que exista es necesario que el jacobiano sea no singular. En este caso, el jacobiano es sólo un $1\times 1$ matriz. Es sólo un número con el valor $$\frac{d}{dy}(x^3 + xy^2 + y^3)=0+2xy+\frac{dx}{dy}y^2+3y^2=0$$ en $y=0$ . Así que el jacobiano es sigular. Así que $y=y(x)$ no existe. Si tratas de dibujar la curva, la encontrarás vertical en este punto.

EDIT：Su pregunta es un poco ambigua. Si usted requiere $y=y(x)$ sea diferenciable, entonces no existe. Pero ciertamente se puede tener una función indiferenciable $y(x)$ porque una cúbica siempre tiene una raíz.