Construcción de una secuencia divisoria: el caso del sucesor

Question

En Tent y Ziegler Un curso de teoría de modelos construyen un $\phi$ - $k$ -secuencia divisoria sobre cualquier conjunto $A$ de una longitud arbitraria $\mu$ a partir de una fórmula $\phi$ con una propiedad de árbol wrt $k < \omega$ (Lema 7.2.4.1). La prueba es, por supuesto, por recursión transfinita, pero no indican el caso del sucesor ("nótese que podemos suponer que $\mu$ es un ordinal límite").

En particular, dada una secuencia de parámetros $(a_i \mid i < \mu)$ tal que $\{\phi(x, a_i) \mid i < \mu \}$ es consistente y que para cada $i < \mu$ $\phi(x, a_i)$ divide sobre $Aa_{<i}$ Necesito encontrar $a_\mu$ para ampliar la secuencia de modo que la nueva secuencia tenga la propiedad similar.

¿Es la idea de que puedo tomar una secuencia indiscernible $I$ en $Aa_{<\mu}$ realizando el tipo EM sobre $Aa_{<\mu}$ de los parámetros que atestiguan la propiedad del árbol, y dejemos que $a_\mu$ sea el primer elemento de $I$ ?

Answer 1

"Podemos asumir que $\mu$ es un ordinal límite" sólo significa que si quieres construir un $\phi$ - $k$ -secuencia divisoria de longitud $\mu$ También podrías construir uno de largo $\mu + \omega$ (un ordinal límite) y luego tomar la subsecuencia inicial de longitud $\mu$ .

No hay razón para tomar secuencias indiscernibles en esta prueba. Recuerda que " $\phi(x,a)$ se divide con respecto a $k$ en $A$ " sólo significa que hay una secuencia infinita $(a_i)_{i\in\omega}$ de realizaciones de $\text{tp}(a/A)$ tal que $\{\phi(x,a_i)\mid i\in\omega\}$ es $k$ -inconsistente.

El paso crucial en la prueba es aplicar la compacidad para obtener un árbol de altura $\mu$ que es $\kappa$ -subir a la rama, donde $\kappa$ es mayor que el número de tipos sobre un conjunto de tamaño $\max(|A|,|\mu|)$ . Digamos que hemos encontrado un camino parcial a través del árbol $(a_\alpha)_{\alpha\leq\lambda}$ para $\lambda < \mu$ que es un $\phi$ - $k$ -secuencia divisoria. Entonces, como hay $\kappa$ -muchos niños de $a_\lambda$ , infinitamente muchos tienen el mismo tipo sobre $A(a_\alpha)_{\alpha\leq\lambda}$ , por lo que podemos elegir uno de ellos para que sea $a_{\lambda+1}$ y $\phi(x,a_{\lambda+1})$ se divide con respecto a $k$ en $A(a_\alpha)_{\alpha\leq\lambda}$ .