Un problema relacionado con el intervalo continuo

Question

Supongamos que $S = (a,b)$ y $T = (c,d)$ , donde:

1. $a < d$ .
2. Ambos $S$ y $T$ no están vacías.
3. $S \cap T = \emptyset$ .
4. $S \cup T$ está conectado.

Ahora la pregunta es: ¿Qué es $b - c$ ?

La paradoja es que, no puede ser $b - c \leq 0$ porque entonces $b$ no está incluido en $S \cup T$ así que no está conectado. Pero tampoco puede sostener que $b - c > 0$ . Porque si entonces ponemos $\epsilon = b - c$ , $c + \epsilon / 2$ se incluye en ambos $S$ y $T$ Así que $S \cap T \neq \emptyset$ .

Exculparme del desprecio: Tal vez a primera vista todo el mundo considere esto como un problema trivial. Sí, lo es, de alguna manera. Porque no me estoy especializando en matemáticas y estos son sólo pensamientos al azar. Sólo quiero examinar qué ocurrirá cuando pongas dos conjuntos abiertos en el eje real lo suficientemente cerca, y cuál es el punto crítico en el que se funden en uno solo, más grande. Todos estos pensamientos se basan en la pura y simple intuición. No conozco demasiadas definiciones/axiomas/teoremas sobre el análisis real. Nunca tuve ese curso.

Tal vez por eso este problema parece estúpido. Por desgracia, finalmente encontré la idea que quería expresar es cómo conectividad se define (también señalado por una de las respuestas más abajo). Así que no hay posibilidad de ganar, ya que la definición no puede ser violada. Pero creo que la idea y la motivación en ella es clara para todos, y no se necesita una definición para pensar en ella. El misterio sigue estando ahí: Se acercan cada vez más dos intervalos abiertos disjuntos y finalmente se cruzan. Pero no sabes dónde. La definición en sí misma no la responde. Además, no se pueden tener demasiadas definiciones, porque cuantas más definiciones, más probable es que haya incoherencias ocultas entre ellas. Así que este problema se resuelve en términos de matemáticas, y no creo que nadie pueda resolverlo en términos de lógica y filosofía. Así que marcaré este problema como respondido. Gracias por todas las respuestas. Muy útil, de hecho.

Answer 1

Bien, así es como yo abordaría este tema. Observa que tanto S como T son conjuntos abiertos. Asumo que sabes que la unión de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Ahora los requisitos son que la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos es el conjunto que estamos tratando, y también es abierto. Esto resulta ser una definición de conectividad . En realidad, es la definición de todo lo que no está conectado .

Ahora bien, no sé lo que puede significar ser continuo, porque la continuidad tiende a referirse a algún tipo de función que hace algún tipo de operación. Quizás una función continua es aquella que lleva conjuntos abiertos a conjuntos abiertos, quizás. Pero voy a suponer que te refieres a ella en el sentido de que puedo colocar mi lápiz en una parte de mi intervalo y cubrir todo el intervalo sin levantar el lápiz. Pero esta es la forma intuitiva de pensar en la conectividad.

Lo que dicen tus afirmaciones, entonces, es que tienes un conjunto desconectado que también está conectado. No existe tal conjunto, así que el único conjunto que satisface estos requisitos es el conjunto vacío. Así que, en última instancia, son inconsistentes.

Answer 2

La mejor manera de abordar el problema es haciendo un par de dibujos. Si hay un solapamiento entre $(a,b)$ y $(c,d)$ Entonces, su condición $2$ se viola, ya que $S\cap T \ne \emptyset$ . Si no hay solapamiento, entonces $S \cup T$ no está conectada, y por lo tanto la condición $3$ es violado.

Lo anterior es esencialmente lo que has escrito. Así que usted probado esa condición $2$ y condición $3$ son incompatibles. Estoy de acuerdo en que hay que pensar un poco para demostrar que las condiciones son incompatibles. La incompatibilidad no surge simplemente de algún tipo de manipulación formal de los símbolos $S$ , $T$ , $\cup$ y $\cap$ . Qué $S$ y $T$ representan también es relevante. Por ejemplo, si hacemos un cambio muy pequeño, de $(a,b)$ a $(a,b]$ la incompatibilidad desaparece.

Pero sí hiciste la reflexión necesaria para demostrar la incompatibilidad de las condiciones $2$ y $3$ . No hay ninguna paradoja.