Pasos intermedios para una integración numérica

Question

Estoy leyendo un documento que afirma que si integramos numéricamente la siguiente ley con respecto al tiempo:

$$\dot{p}_c = \frac {1}{\lambda^*-\kappa^*}p_c \dot{\epsilon}_{vol}^c$$

Obtenemos el siguiente resultado

$$p_{c,n+1} = p_{c,n} \exp\left[\frac{1}{\lambda^*-\kappa^*}\Delta\epsilon_{vol}^c\right]$$

donde los subíndices $n$ y $n+1$ denotan el valor en $t = t_n$ y $t = t_n+\Delta t$

No tengo ni idea de los pasos intermedios utilizados para hacer esta afirmación. En cualquier caso, he intentado pensar en la analítica integral con respecto al tiempo. En este caso:

$$ \int \dot p_c dt = \int \frac {1}{\lambda^*-\kappa^*}p_c \dot{\epsilon}_{vol}^c dt$$

Debería simplemente ceder

$$p_c = \frac {1}{\lambda^*-\kappa^*}p_c \epsilon_{vol}^c$$ ¿No debería? Ya que la integral de la derivada de una función es simplemente esa función. No tengo ni idea de cómo obtienen esa exponencial.

Cuáles son los pasos intermedios para llegar a la expresión integrada numéricamente. ¿Por qué la integral de la derivada no es simplemente la función?

EDITAR

Ahora entiendo lo que estaba pasando por alto en la ecuación original:

$p_c$ es una función del tiempo y aparece en ambos lados de la ecuación original. Así tenemos:

$$\int \frac{\dot{p}_c(t)}{p_c} dt= \int \frac{1}{\lambda^*+\kappa^*}\dot{\epsilon}_{vol}^c dt$$

utilizando la técnica de sustitución en u con $u = p_c(t)$ y $du = \dot{p}_c(t)dt$ obtenemos $$\int \frac{\dot{p}_c(t)}{p_c} dt = \int \frac 1 u du $$

Entonces, por supuesto $$\int \frac 1 u du = \ln u = \ln p+c(t)$$

Así encontramos:

$$\ln p_c(t) = \frac 1 {\lambda^*+\kappa^*}\epsilon_{vol}^c (t)$$

Reordenando obtenemos:

$$p_c(t) = \exp\left[\frac 1 {\lambda^*+\kappa^*} \epsilon_{vol}^c(t)\right]$$

Lo que al menos explica el signo exponencial. Así que sí, la integral de la derivada de una función es esa misma función pero es importante saber dónde se produce la función.

Todavía no estoy seguro de dónde está la forma numérica $$p_{c,n+1} = p_{c,n} \exp\left[\frac{1}{\lambda^*-\kappa^*}\Delta\epsilon_{vol}^c\right]$$ viene. Si alguien pudiera dar esa explicación sería estupendo. Gracias.

Answer 1

Si integra $$\dot p=kp$$ utilizando ese método, es necesario incorporar la constante de integración de alguna manera, o hacer todo en integrales definidas para que los iguales sigan siendo iguales, por ejemplo como $$ \int_{p_n}^{p_{n+1}}\frac{du}{u}=\int_{t_n}^{t_{n+1}}k\,ds $$ lo que lleva a (considerando que no se produce ningún cambio de signo) $$ \ln|p_{n+1}|-\ln|p_n|=k\,\Delta t $$ que luego se transforma en la ecuación dada $$ p_{n+1}=p_n\,\exp(k\,Δt). $$