Subespacio generado por un endomorfismo

Question

En una demostración del teorema de Cayley-Hamilton, encontré el siguiente subespacio lineal de algún espacio vectorial arbitrario de dimensión finita $V$ con un endomorfismo $f:V \to V$ y se fijó $v\in V$ : $$U_v := \text{span}(f^k(v): k\in \mathbb N)$$ Desde $n:=\dim V < \infty$ tenemos $\dim U_v < \infty$ y por lo tanto ya $l \in \mathbb N, l \leq n$ vectores de $U_v$ generar $U_v$ . Ahora la afirmación (no probada) es que estos vectores son $$v_0 := v, v_1:=f(v), v_2:= f^2(v), \dots, v_{l-1} := f^{l-1}(v).$$ Ahora no entiendo bien este paso. Aunque por supuesto es obvio que sólo necesitamos un número finito de vectores que generen $U_v$ por qué somos capaces de elegir el primero $l$ ¿a quiénes?

Intenté probar algo como $$\text{span}(f^k(v):k\in \{0,...,l-1\}) = \text{span}(f^k(v):k\in I)$$ donde $I\subseteq \mathbb N$ es un conjunto de índices arbitrarios con $| I | = l$ .
Pero este es un intento realmente desordenado y no sé realmente si esto va en la dirección correcta. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $v_i := f^i(v)$ .

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Lema :

Supongamos que $v_l \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-1}\})$ .

Entonces, para cada $\text{n} \in \mathbb{N}$ , $v_{n} \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-1}\})$ .

Prueba :

Supongamos que $v_k \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-1}\})$ Así que $v_k = \alpha_0 v_0 + ... +\alpha_{l-1} v_{l-1}$ .

Por lo tanto, $v_{k+1} = f(v_{k}) = \alpha_0 f(v_0) + ... +\alpha_{l-1} f(v_{l-1}) = \alpha_0 v_1 + ... +\alpha_{l-1} v_{l} \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-1}\})$ porque $v_{l} \in \text{span}(\{v_0, ... v_l\})$ .

A partir de $k = l$ El efecto dominó (o inducción) completa la prueba.

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Dejemos que $l:=\text{dim}(\text{span}(f^k(v): k\in \mathbb N))$ .

Reclamación: $$\text{span}(\{f^k(v): k\in \mathbb N\}) = \text{span}(\{v_0, ... v_{l-1}\})$$

Prueba:

Si $\{v_0, ... v_{l-1}\}$ son independientes, entonces la prueba está completa (porque son $l$ vectores independientes, $l$ es la dimensión).

Por lo demás, $\{v_0, ... v_{l-1}\}$ es un conjunto dependiente.

Recordemos que utilizando el lema, basta con demostrar que $v_l \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-1}\})$ .

$\{v_0, ... v_{l-1}\}$ es un conjunto dependiente, por lo que uno de los vectores es una combinación lineal de los otros. Supongamos que $v_{l-1} \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-2}\})$ . Pero entonces

$v_{l-1} = \alpha_0 v_0 + ... +\alpha_{l-2} v_{l-2}$

$ \rightarrow f(v_{l-1}) = \alpha_0 f(v_0) + ... +\alpha_{l-2} f(v_{l-2})$

$ \rightarrow v_{l} = \alpha_0 v_1 + ... +\alpha_{l-2} v_{l-1}$

y luego $v_l \in \text{span}(\{v_1, ... v_{l-1}\}) \subseteq \text{span}(\{v_0, ... v_{l-1}\})$ y la prueba está completa.

Por lo demás, $v_{l-1} \notin \text{span}(\{v_0, ... v_{l-2}\})$ . Todavía, $\{v_0, ... v_{l-2}\}$ es un conjunto dependiente. Supongamos que $v_{l-2} \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-3}\})$ . Pero esto es imposible ya que

$v_{l-2} \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-3}\}) \rightarrow v_{l-1} \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-2}\})$ en contradicción.

De ello se desprende que $v_{l-2} \notin \text{span}(\{v_0, ... v_{l-3}\})$ .

El argumento recurrente da que el conjunto $\{v_0, ... v_{l-1}\}$ es independiente, en contra de la suposición de que es dependiente. Por lo tanto,

$v_{l-1} \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-2}\})$ y así $v_{l} \in \text{span}(\{v_0, ... v_{l-1}\})$ . Como ya se ha dicho, esto completa la prueba.