Problema 5, sec. 13 en Topología de Munkres, 2ª ed.: Cómo demostrar la afirmación si $\mathscr{A}$ ¿es una subbase?

Question

Demuestre que si $\mathscr{A}$ es una base para una topología en $X$ entonces la topología generada por $\mathscr{A}$ es igual a la intersección de todas las topologías en $X$ que contienen $\mathscr{A}$ .

Esto es lo que he conseguido. Sin embargo, lo siguiente me deja perplejo:

Demuestre lo mismo si $\mathscr{A}$ es una subbase.

Es decir, cómo demostrar que la topología generada por $\mathscr{A}$ como subbase es la misma que la intersección de todas las topologías en $X$ que contienen $\mathscr{A}$ ?

Dejemos que $\mathscr{T}$ sea la topología que consiste en todas las uniones de intersecciones finitas de conjuntos en $\mathscr{A}$ y que $\mathscr{T}^\prime$ sea la topología que es la intersección de todas las topologías que contienen $\mathscr{A}$ .

Ahora $\mathscr{A}$ es una colección de subconjuntos de $X$ cuya unión es toda la $X$ y cada conjunto $A \in \mathscr{A}$ está en ambos $\mathscr{T}$ y $\mathscr{T}^\prime$ .

¿Estoy en lo cierto hasta ahora?

Y si es así, ¿qué sigue?

Answer 1

En primer lugar, demostramos que $\mathscr{T}'\subseteq \mathscr{T}$ .

Supongamos que $U \in \mathscr{T}'$ . Entonces $U$ es un elemento de toda topología que contenga $\mathscr{A}$ , incluyendo $\mathscr{T}$ que es sin duda una de esas topologías. Así que $U \in \mathscr{T}$ que muestra $\mathscr{T}'\subseteq \mathscr{T}$ .

Para ver que $\mathscr{T} \subseteq \mathscr{T}'$ :

Dejemos que $W \in \mathscr{T}$ . Entonces $W = \bigcup W_i$ con cada $W_i$ una intersección finita de conjuntos en $\mathscr{A}$ , digamos que $W_i = W_{i1} \cap \dots \cap W_{in}$ con $W_{ij} \in \mathscr{A}$ . Desde $W_{ij} \in \mathscr{A}$ y $\mathscr{A} \subseteq \mathscr{T}'$ y porque $\mathscr{T}'$ es una topología (y por tanto cerrada bajo intersecciones finitas), $W_i \in \mathscr{T}'$ y por lo tanto (ya que $\mathscr{T}'$ también es cerrado bajo uniones arbitrarias) $W \in \mathscr{T}'$ Así que $\mathscr{T} \subseteq \mathscr{T}'$ .

Por lo tanto, vemos que $\mathscr{T} = \mathscr{T}'$ .

Answer 2

Desde $\scr A$ está contenida en $\scr T$ y $\scr T$ es una topología, se deduce que $\scr T^\prime\subseteq \scr T$ (como $\scr T^\prime$ es la intersección de todas las topologías en $X$ que contiene $\scr A$ ). Para la otra dirección, si $V\notin \scr T^\prime$ entonces existe una topología $\cal T$ en $X$ con $\scr A\subseteq \cal T$ tal que $V\notin \cal T$ . Dado que cualquier unión arbitraria de intersecciones finitas de conjuntos en $\scr A$ pertenece a $\cal T$ (porque $\cal T$ es una topología y $A\in \scr A\implies A\in \cal T$ ), se deduce que $V$ no puede ser una unión de intersecciones finitas de conjuntos en $\scr A$ y por lo tanto $V\notin \scr T$ . Por lo tanto, $\scr T\subseteq \scr T^\prime$ . Así que ambas topologías son iguales.