Integrar una función indefinida : $\int {dx\over\sqrt x \sqrt {1-x}}$

Question

¿Cómo se integra el indefinido $\int {dx\over \sqrt x \sqrt {1-x}}$ utilizando la sustitución? Sé que la respuesta es $2*\arcsin(\sqrt x)+c$ sustituyendo $u=\sqrt x$ y $2du={dx\over\sqrt x}$ pero no entiendo cómo al conectarlo se hace la función $\int {2du\over\sqrt {1-u^2}}$

Answer 1

Después de sustituir adecuadamente, usted hacer obtener una integral de la forma $$\int \frac {2\,du}{\sqrt{1 - u^2}}$$

Después de todo, has calculado correctamente $ u = \sqrt x \implies \color{blue}{\bf u^2 = x}\;\;\text{and}\;\;\color{red}{\bf 2 \,du = \frac{dx}{\sqrt x}}$ . Ahora, sólo hay que sustituir, pieza por pieza (igualando los colores, si es necesario), en $$\int \dfrac{\color{red}{\bf dx}}{\color{red}{\bf \sqrt x}\cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\bf x}}}$$ Esta es la forma que se aplica aquí : Ahora puedes utilizar la sustitución $u = \sin \theta$ .

Recordemos que cuando $a^2 - u^2$ en un integrando, se puede utilizar la sustitución $u = a\sin \theta$ .

Answer 2

Dejemos que $x=\sin^2 t$ . Entonces $dx=2\sin t\cos t\,dt$ y $\sqrt{x}\sqrt{1-x}=\sin t\cos t$ . Así, $$\int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}\,dx=\int 2\,dt=2t+C.$$ Así, nuestra integral es $2\arcsin(\sqrt{x})+C$ .

Observación: Lo "normal" es completar la plaza. Sin embargo, $\sqrt{x(1-x)}$ es en muchos aspectos tan agradable como $\sqrt{1-u^2}$ y se puede aprovechar la forma especial para saltarse la norma de completar el cuadrado.