Clasificación de los espacios de producto interno de dimensión finita.

Question

Dado un producto interno complejo en un espacio vectorial de dimensión finita, ¿existe siempre una matriz $M$ tal que $\langle x,y \rangle=y^*Mx$ . ¿Cuáles son las propiedades de dicha matriz?

He visto en la página wiki que si el espacio vectorial es $\mathbb{C}^n$ entonces siempre existe una matriz de este tipo, que es hermitiana positiva-definida. Me preguntaba si lo mismo podría decirse de otros espacios de dimensión finita.

Answer 1

Dado un espacio de producto interno $V$ con base $B = \{v_1,\dots,v_n\}$ podemos escribir $$ \langle x,y \rangle = [y]_B^* [M]_B[x]_B $$ Aquí, $[x]_B$ es el vector de coordenadas de $x$ con respecto a la base $B$ . La matriz $[M]_B$ puede definirse mediante $$ [M]_B = \pmatrix{ \langle v_1,v_1 \rangle & \cdots & \langle v_1,v_n \rangle\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \langle v_n,v_1 \rangle & \cdots & \langle v_n,v_n \rangle } $$ La matriz $[M]_B$ debe ser positiva definida, y toda matriz positiva definida define un producto interno de esta manera.