Dado $y_0\in(0,b)$ y $y_{k+1}=\frac{1}{2}y_k(3-y_k^2)$ converge a $1$ . Encuentre $b$ .
Sé que la secuencia converge cuadráticamente. Pero no tengo ni idea de cómo encontrar $b$ .
Respuesta
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Dejemos que $f(x) = \frac{1}{2}x(3-x^2)$ .
El análisis gráfico nos dice que $f$ envía $(0,1]$ a $(0,1]$ y todos los puntos de $(0,1]$ convergen a $1$ bajo la iteración de $f$ .
El análisis gráfico también nos dice que $f$ envía $[1,\sqrt3)$ a $(0,1]$ .
Por lo tanto, el intervalo que se busca es $(0,\sqrt3)$ porque es el mayor intervalo que contiene el punto fijo $1$ que se mapea en sí mismo (o en $(0,1]$ ). Este intervalo se denomina cuenca de atracción inmediata del punto fijo $1$ .
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