Comprobación de la solución del problema sobre la función métrica

Question

Me gustaría recibir ayuda con el siguiente problema:

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Marquemos con $l^p$ ( $1 \le p < \infty$ ) un conjunto de todas las secuencias $a = \{a_n\}$ de números reales, tal que la serie $\sum_{i = 1}^{\infty} |a_i|^p$ converge y define el mapeo $d: l^p \times l^p \mapsto [0, \infty)$ con

$$d(x, y) = \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i - y_i|^p}, \quad x, y \in l^p.$$

Demuestre que $d$ es una métrica en $l^p$ .

Tengo un problema con el tercer paso de mi prueba. Hice esto: $$d(x, y) = \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i - y_i|^p} = \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i - z_i + z_i - y_i|^p} \le$$ $$\le \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i - z_i|^p} + \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |z_i - y_i|^p} = d(x, z) + d(z, y).$$ Estoy tratando de usar la desigualdad de Minkowski, pero no estoy seguro si puedo usarla si $i$ va a $\infty$ en su lugar a $n \in \mathbb{N}$ .

Por favor, podrías decirme si este paso es correcto y si no lo es, podrías darme algún consejo sobre cómo probar que, en este caso, es $d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)$ .

Answer 1

Sí, como has señalado anteriormente, no puedes aplicar la desigualdad de Minkowski directamente. Pero se puede proceder como se indica a continuación:

Tenga en cuenta que para cualquier $n\in \Bbb N$ , $$\sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{n} |x_i - y_i|^p} \le \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{n} |x_i - z_i|^p} + \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{n} |z_i - y_i|^p}\leq \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i - z_i|^p} + \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |z_i - y_i|^p}.$$ Como esto es cierto para cualquier $n\in \Bbb N$ , tomando los límites se obtendrá la desigualdad requerida.

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Dejemos que $S_n=\sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{n} |x_i - y_i|^p}$ . Obsérvese que la secuencia $\{S_n\}$ es una secuencia creciente de números reales no negativos y está limitada por encima por $$\sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i - z_i|^p} + \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |z_i - y_i|^p}.$$ Así que $\{S_n\}$ converge a $$\lim_{n\to\infty}S_n=\sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i - y_i|^p}$$ y la desigualdad deseada se mantiene (si todavía tiene problemas, vea lo que sucede si $$\sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |x_i - z_i|^p} + \sqrt[p]{\sum\limits_{i = 1}^{\infty} |z_i - y_i|^p}\lt\lim_{n\to\infty}S_n).$$