Como se ha visto ici La aplicación estándar del Teorema de la Categoría de Baire es demostrar que el conjunto de funciones diferenciables en un punto de $[0,1]$ es un conjunto no denso en el espacio de funciones continuas sobre $[0,1]$ . Para ello construimos conjuntos $$ C_{n} = \{f \in C[0,1] : \exists a, \delta \in [0,1] : \frac{|f(a+h) - f(a)|}{|h|} \leq n \text{ for all } |h| < \delta\} $$ La prueba estándar muestra que cada $C_{n}$ está cerrado y tiene el interior vacío. Entiendo lo del interior vacío, pero no entiendo por qué está cerrado. Sí, tomamos una secuencia $f_{k}$ en cada $C_{n}$ y encontrar un punto $x_{k}$ para cada $f_{k}$ donde se cumple la propiedad anterior y encontrar una subsecuencia convergente de $\{x_{k}\}$ . Mi pregunta: ¿cómo es que tomar un límite de la $x_{k}$ ¿es suficiente? ¿No tenemos que ocuparnos de $\delta$ ¿también? Cuando tomamos $k \to \infty$ por qué podemos arreglar $h$ ? Cada $f_{k}$ puede tener un valor diferente de $h$ que funciona, por lo que incluso el $h$ tiene que ser parte de nuestra secuencia. Pero introducimos una secuencia $h_{k}$ ¿Cómo cuidamos del $\delta$ para cada $h_{k}$ ? ¿Quién puede decir que $h_{k}$ no converge a $0$ ?
Respuesta
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user142385
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Dejemos que $A_n$ ser el conjunto en su enlace. Entonces $A_n^{c}=\cap_h \{f:\exists t: |f(t+h)-f(t)| \leq n|h|\}$ . Arreglar $h$ . Si $(f_j)$ es una secuencia en $\{f:\exists t: |f(t+h)-f(t)| \leq n|h|\}$ que convergen uniformemente a $f$ entonces $|f_j(t_j+h)-f(t_j)| \leq n|h|$ y hay una subsecuencia de $(t_j)$ que converge a algún $t$ . ¿Puede demostrar que $|f(t+h)-f(t)| \leq n|h|\}$ ?
