He estado auto-estudio inseparable extensiones y hay algo que parece obvio para todo el mundo pero no para mí. Vamos a aclarar algunas definiciones que no son tan universal:
Deje $K$ ser un campo y $f\in K[X]$ un polinomio. Decimos que es separable si todas sus raíces son distintas a través de su división de campo. Decimos que es puramente inseparable si tiene sólo una raíz a través de su división de campo, y esta raíz es múltiple.
Un campo de extensión de la $F\subset K$ es puramente inseparable (resp. separables) si cada elemento de a $K$ es la raíz de una puramente inseparable (resp. *separables) polinomio en $F[X]$.
Un campo K es perfecto si cada polinomio irreducible sobre K es separable.
Deje $F\subset K$ ser un campo de extensión de la característica $p$. El cierre perfecto, o puramente inseparable de cierre de $F$ $K$ es el mayor campo intermedio que es puramente inseparable sobre $F$. Vamos a denotar por $K^p_F$
Podemos comprobar que la $K^p_F$ se compone de todos los elementos $\alpha\in K$ que no es: $n\in \mathbb{N}$ tal que $\alpha^{p^n}\in F$.
Otra propiedad que puede ser útil es que un polinomio irreducible sobre un campo de característica $p$ se divide en función de su división de campo como este: $$f(X)= a_0(X-a_1)^{p^n} \dots (X-a_r)^{p^n}$$ where the $a_1,\dots,a_r$ son pares distintos.
Ahora, ¿por qué es cierto que $K^p_F$ es un campo perfecto? Por favor, intenta demostrar que sólo el uso de estas definiciones y propiedades.
EDIT: también he demostrado que
Un campo es perfecto iff cada extensión finita es separable, iff cada algebraicas la extensión es separable.
lo que puede venir en práctico.
