Sabemos que para una representación $V$ de un álgebra de Lie o de un grupo cuántico, podemos definir el carácter de $V$ como $ch(V)=\sum_{\mu} dim(V_{\mu})e^{\mu}$ , donde $V_{\mu}$ es el espacio de pesos de $V$ con peso $\mu$ . No he encontrado la definición correspondiente para representaciones de álgebras de dimensión finita (por ejemplo, álgebras asociativas). ¿Existe algún tipo de teoría de caracteres para representaciones de álgebras de dimensión finita? Muchas gracias.
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Matt Dawdy
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Claro. $A$ es un álgebra de dimensión finita sobre un campo $k$ y $V$ una dimensión finita $A$ -(por lo que tenemos un morfismo $\rho : A \to \text{End}_k(V)$ ), podemos definir un carácter $\chi_V(a) = \text{tr}(\rho(a)) : A \to k$ al igual que en el caso de los grupos finitos (donde $A = k[G]$ ). Los caracteres son aditivos en las secuencias exactas cortas, por lo que si $\chi_V$ tiene una serie de composición que consiste en $n_i$ copias del simple $A$ -Módulo $V_i$ entonces $$\chi_V = \sum n_i \chi_{V_i}.$$
Además, si $k$ tiene característica cero, los caracteres correspondientes a módulos simples distintos son linealmente independientes. (No conozco una forma corta de demostrar esto, aunque estoy seguro de que hay una; se deduce de Artin-Wedderburn aplicado a $A/J(A)$ .) Así pues, el carácter de un módulo indica precisamente cuáles son los módulos simples de su serie de composición.
Tenga en cuenta que cualquier carácter $\chi_V$ es, entre otras cosas, una función lineal $A/[A, A] \to k$ (donde $[A, A]$ es el subespacio, no el ideal, generado por los conmutadores), por lo que $\dim A/[A, A]$ es un límite superior del número de módulos simples. No sé si este límite superior se alcanza en general.
En la teoría de representación de grupos ordinaria, un carácter es un homomorfismo $\chi:G\to \mathbb{C}^\times$ . Un carácter asociado a una representación $\rho: G\to GL(V)$ es $\chi_\rho: g\mapsto trace(\rho(g))$ . El carácter del álgebra de Lie que surge de la diferenciación de un grupo de Lie es lo mismo en el sentido de que el carácter de la representación del álgebra de Lie es el carácter de la representación del grupo de Lie correspondiente.
Sin embargo, las cosas se complican una vez que cambiamos el campo de $\mathbb{C}$ a otra cosa (en particular, sobre campo de característica positiva). Por ejemplo, el carácter modular y el carácter de Brauer son dos definiciones diferentes para los caracteres del álgebra de grupos $kG$ donde char $(k)>0$ . Cuando decimos que "las cosas son complicadas", significa que muchas propiedades útiles de los caracteres ordinarios se pierden cuando simplemente generalizamos el concepto para extenderlo a los otros campos (por eso tenemos caracteres de Brauer en lugar de caracteres modulares en característica positiva para las álgebras de grupo). Una "buena" teoría de caracteres necesita algún tipo de comportamiento agradable del álgebra correspondiente, por ejemplo, la división en clases de conjugación de un grupo y la semisimplicidad de las álgebras de grupo sobre $\mathbb{C}$ y la noción de espacios de peso para las álgebras de Lie
También desde los años 20, después del trabajo de, digamos Dade y Green, se ve que el enfoque teorético del módulo para la representación es más conveniente que el teorético del carácter. Esa es la razón por la que no se menciona el carácter para las álgebras asociativas generales. Por otro lado, una representación para el álgebra $A$ es $\rho:A\to End(V)$ , por lo que en teoría también se pueden definir los caracteres de las álgebras.
Sin embargo, la teoría de caracteres no está completamente olvidada, todavía se puede hacer teoría de caracteres (aunque no tan bien llevada como la de representaciones de álgebras de grupos/mentiras) para algunas álgebras especiales para obtener alguna idea. El ejemplo que conozco es el álgebra de Brauer, que se construye "apilando" capas de álgebras de grupos simétricos, y presenta una buena base que utiliza gran parte de los elementos de grupos simétricos, por lo que se pueden utilizar los caracteres para ver algunas propiedades elementales, pero probablemente no se pueda decir mucho en general.
