Base de $\mathbb{Z}^n$ bases de aproximación de $\mathbb{Z}_p^n$

Question

Tengo algunas preguntas sobre la demostración del teorema 2.1. de la sección 2 del capítulo 9 de Rational Quadratic Forms de Cassels (1978). El enunciado del teorema es el siguiente:

Dado $P$ un conjunto finito de primos $p\neq \infty$ y para cada $p\in P$ dejar $$\mathbf{c}_1^{(p)},\dots, \mathbf{c}_n^{(p)}$$ sea una base para $\mathbb{Z}_p^n$ (como una red, es decir, los vectores forman una base de un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{Q}_p$ ), con $$\det(\mathbf{c}_1^{(p)},\dots,\mathbf{c}_n^{(p)})=1.$$ Entonces, para cualquier $\varepsilon>0$ hay una base $\mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_n$ de $\mathbb{Z}^n$ (de nuevo como una red, es decir, los vectores forman una base de un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{Q}$ ) con $$\det(\mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_n)=1$$ tal que $$\Vert \mathbf{c}_j - \mathbf{c}_j^{(p)}\Vert_p < \varepsilon ~~(1\leq j\leq n,\text{ all }p\in P). \tag{1}$$ Aquí hemos utilizado la notación $$\Vert \mathbf{b} \Vert_p = \max |b_j|_p,$$ donde $|\cdot|_p$ denota el habitual $p$ -norma de los ádicos, es decir $$|b|_p = p^{-\operatorname{ord}_p(b)}.$$

La afirmación se demuestra por inducción, donde utilizamos la hipótesis

$\mathit{H_J}$ : hay una base $$\mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_{J-1},\mathbf{b}_J,\dots, \mathbf{b}_n \tag{2}$$ de $\mathbb{Z}^n$ tal que $(1)$ es cierto para todos los $j<J$ .

La parte en la que estoy atascado es cuando suponemos que $\mathit{H_J}$ se ha demostrado, entonces podemos expresar la $\mathbf{c}_J^{(p)}$ (para $p\in P$ ) en términos de la base $(2)$ como $$\mathbf{c}_J^{(p)} = l_1^{(p)}\mathbf{c}_1 + \dots + l_{J-1}^{(p)}\mathbf{c}_{J-1} + m_J^{(p)} \mathbf{b}_J + \dots + m_n^{(p)}\mathbf{b}_n,$$ donde $$l_1^{(p)},\dots,l_{J-1}^{(p)},m_J^{(p)},\dots,m_n^{(p)}\in \mathbb{Z}_p.$$ El autor afirma ahora que un teorema anterior sobre bases reticulares ( Teorema 3.1. del capítulo 7 , aplicada al caso $I=\mathbb{Z}_p$ , $k=\mathbb{Q}_p$ , $\Lambda=\mathbb{Z}_p^n$ ) nos dice que $$\max_{J\leq j \leq n}|m^{(p)}_j|_p = 1.$$

Sin embargo, no veo realmente cómo el teorema implica esta afirmación. Si aplicamos el teorema con $\mathbf{e}_j=\mathbf{c}_j$ para $1\leq j<J$ , $\mathbf{e}_j=\mathbf{b}_j$ para $J\leq j \leq n$ y $J=1$ (el $J$ en el Teorema 3.1.). Entonces el teorema nos dice que $$\max_{\substack{1\leq i \leq J-1 \\ J\leq j \leq n}} \{|l_i^{(p)}|_p, |m_j^{(p)}|_p \} = 1,$$ pero no estoy seguro de cómo esto implica que en realidad uno de los $m_j^{(p)}$ es un $p$ - la unidad de la unidad de la unidad de la unidad de la unidad. También consideré aplicar el teorema con $J=J$ (es decir, el $J$ en el Teorema 3.1. es igual al $J$ de nuestra hipótesis de inducción) a los vectores $\mathbf{c}_1^{(p)},\dots,\mathbf{c}_J^{p}$ y expresando la $\mathbf{c}_j^{(p)}$ en términos de la base $(2)$ utilizando la hipótesis de inducción (para $j<J$ ), pero tampoco veo realmente cómo sacar el resultado deseado del hecho de que uno de los determinantes del $J\times J$ submatrices es ahora un $p$ - la unidad de la unidad de la unidad de la unidad de la unidad de la unidad.

Cualquier ayuda o idea sobre cómo puedo llegar a la reclamación deseada sería muy apreciada. ¡Perdón por el largo post, y gracias de antemano!

Answer 1

Creo que he conseguido solucionarlo, por favor, avisadme si hay algún error.

Por nuestra hipótesis de inducción sabemos que $(1)$ es válida para todos los $j<J$ Por lo tanto, para $j<J$ podemos escribir \begin{equation*} \mathbf{c}_j^{(p)} = \mathbf{c}_j + p^N (x_{j1}^{(p)}\mathbf{c}_1 + \dots + x_{j(J-1)}^{(p)}\mathbf{c}_{J-1} + x_{jJ}^{(p)}\mathbf{b}_J + \dots + x_{jn}^{(p)} \mathbf{b}_n) \end{equation*} con el $x_{ji}^{(p)}\in \mathbb{Z}_p$ y donde podemos recoger $N\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ tal que $p^{-N}< \varepsilon$ .

Como sabemos que para cada $p\in P$ los vectores $\mathbf{c}_1^{(p)},\dots, \mathbf{c}_J^{(p)}$ ampliar para formar una base para $\mathbb{Z}_p^n$ vemos en el Teorema 3.1. (el que he enlazado en mi post) con $(2)$ como base para $\mathbb{Z}_p^n$ que el conjunto de determinantes de la $J\times J$ submatrices de la $J\times n$ matriz \begin{equation}\label{jtimesncoeffmatrixeq} \begin{pmatrix} 1 + p^N x_{11}^{(p)} & p^N x_{12}^{(p)} & \dots & & & \dots & p^N x_{1n}^{(p)} \\ p^N x_{21}^{(p)} & 1 + p^N x_{22}^{(p)} & \dots & & & \dots & p^N x_{2n}^{(p)} \\ \vdots & & \ddots & & & & \vdots \\ p^N x_{(J-1)1}^{(p)} & \dots & & 1 + p^N x_{(J-1)(J-1)}^{(p)} & p^N x_{(J-1)J}^{(p)} & \dots & p^N x_{(J-1)n}^{(p)}\\ l_1^{(p)} & \dots & & l_{J-1}^{(p)} & m_J^{(p)} &\dots & m_n^{(p)} \end{pmatrix} \end{equation} es coprima. Por lo tanto, uno de estos determinantes debe ser un $p$ -unidad de caducidad. Por la forma de la matriz y el hecho de que la mayoría de las entradas son divisibles por $p$ Ahora podemos deducir que \begin{equation*} \max_{J\leq j \leq n}|m_j|_p = 1. \end{equation*}