Demostrar la convexidad de la función logarítmica de Bessel modificada

Question

Necesito demostrar que la función de Bessel modificada del segundo tipo es log convexa en el cuadrado del argumento. Específicamente estoy interesado en demostrar, $\log \mathcal{K}_0(\sqrt{x})$ (orden cero) es convexo.

¿Alguna idea para probarlo? Visualmente parece ser el caso:

x vs $\mathcal{K}_0(\sqrt{x})$

x vs $\log\mathcal{K}_0(\sqrt{x})$

Answer 1

Definir $f(x):= \ln \left(K_0(\sqrt{x})\right)$ y calcular (por ejemplo, con la ayuda de un CAS) $$f'(x)=-\frac{1}{2}\frac{K_1(\sqrt{x})}{\sqrt{x}K_0(\sqrt{x})}$$ $$f''(x) = \frac{1}{4} \frac{\sqrt{x}K_0(\sqrt{x})^2+2K_0(\sqrt{x})K_1(\sqrt{x})-\sqrt{x}K_1(\sqrt{x})^2} {x^{3/2}K_0(\sqrt{x})^2}$$ Desde http://dlmf.nist.gov/10.37 tenemos $K_1(x)>K_0(x)>0\;$ para $x>0$ . Por lo tanto, tanto el numerador como el denominador de $f''(x)$ son positivos y $\ln \left(K_0(\sqrt{x})\right)$ es estrictamente convexo.