¿Por qué la regla de la cadena no funciona para esta pregunta?

Question

$f(x)=x^{14x}$

Encuentre $f'(x)$

Utilicé la regla de la cadena y la escribí como $f(U)=U^{14x},U(x)=x $ y obtener una respuesta: $14x(x)^{14x-1}$

Pero es un error. La respuesta correcta debería ser hacer $y=x^{14x}$ entonces $\ln y=\ln x^{14x}$ entonces $\ln y=14x\ln x$ entonces diferenciar cada lado con respecto a $x$ . ¿Puede alguien explicar por qué mi método es incorrecto?

Answer 1

Hay que utilizar dos reglas. La primera $$(f^g)' = g\cdot f^{g-1} \cdot f'$$ si $g$ es constante y $$(f^g)' = \ln f \cdot f^g \cdot g'$$ si $f$ es constante. Si ninguna es constante, la respuesta es la suma de ambas opciones:

$$(f^g)' = g\cdot f^{g-1} \cdot f' + \ln f \cdot f^g \cdot g'$$

Esta es también la regla de la cadena, pero en una forma diferente. Puede que hayas visto este patrón en la regla del producto:

$$(fg)' = f'g+fg'$$

en el que se busca la dependencia (derivada) en una función a la vez. Esta es la intuición que puedes llevar adelante si eres cuidadoso al respecto.