Resolver la iteración de las expectativas condicionales

Question

He estado leyendo el documento The Perils of Peer Effects de Josh Angrist http://www.nber.org/papers/w19774

En la página 4, transforma una función de expectativa de condición:

$E(y|x,z)=\beta\mu_{(y|z)}+\gamma x $ donde $\mu_{(y|z)}=E(y|z)$

a "una relación de forma reducida" al "iterar sobre x"

$E(y|z)=\frac{\gamma}{1-\beta} E(x|z) $

(Todas las variables tienen media cero)

No sé muy bien cómo se hace y qué quiere decir exactamente con "iterar sobre x". He intentado aplicar la ley de la expectativa total con referencia a x. En particular, no veo cómo $E(x|z)$ entra en la ecuación.

Answer 1

Debería haber escrito esto de forma más sucinta, pero pensé en intentar ser explícito...

Para cada valor $x$ y $z$ de las variables aleatorias $X$ y $Z$ se cumple la siguiente relación:

$$ E[Y \mid X=x, Z=z] = \beta E[Y \mid Z=z] + \gamma x $$

Dejemos que $P(X=x \mid Z=z)$ sea la variable aleatoria de probabilidad $X$ toma el valor escalar $x$ dado que $Z=z$ . Multiplica ambos lados: $$ E[Y \mid X=x, Z=z] P(X=x\mid Z=z) = \beta E[Y \mid Z=z] P(X=x\mid Z=z) + \gamma x P(X=x \mid Z = z)$$ $$ \left(\sum_y y P(Y=y \mid X=x, Z=z)\right) P(X=x\mid Z=z) = \beta E[Y \mid Z=z] P(X=x\mid Z=z) + \gamma x P(X=x \mid Z = z)$$ Regla de Bayes: $$ \sum_y y P(Y=Y, X=x \mid Z=z) = \beta E[Y \mid Z=z] P(X=x\mid Z=z) + \gamma x P(X=x \mid Z = z)$$

Toma la suma de ambos lados sobre todos los valores posibles de x: $$ \sum_x \sum_y y P(Y=Y, X=x \mid Z=z) = \sum_x \beta E[Y \mid Z=z] P(X=x\mid Z=z) + \sum_x \gamma x P(X=x \mid Z = z)$$ $$ \sum_y y P(Y=Y \mid Z=z) = \beta E[Y \mid Z=z] + \sum_x \gamma x P(X=x \mid Z = z)$$ $$ E[Y \mid Z=z] = \beta E[Y \mid Z=z] + \gamma E[X \mid Z=z]$$