¿Cómo evaluar? $\lim\limits_{n\to\infty}[(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\cdots(1+\frac{4n}{n})]^{1/n}$

Question

¿Cómo puedo determinar el valor del siguiente límite?

$$\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{4n}{n}\right)\right]^{1/n}$$

Lo primero que me vino a la mente es la aproximación para $e$ . Pero no soy capaz de retorcer la expresión en consecuencia. Por favor, ayuda.

Answer 1

Toma el logaritmo de la expresión. Obtendrás $\sum_{k=1}^{4n} \log (n+k) - \log n$ en el numerador. ¿Puedes manejar desde aquí?

EDITAR OK así que estoy recibiendo $-3 \log n + \sum_{k=1}^{4n} \log (1+ \frac{k}{n}) \frac{1}{n} = -3 \log n + \int_{1}^{5} \log xdx$ . El segundo término es una constante, y el segundo converge a $0$ al ritmo $\frac{1}{n^3}$