Estoy estudiando la descomposición QR.
¿Podría explicar la intuición geométrica de lo que hace la transformación de Householder en ese contexto, y por qué a veces se la denomina reflexión .
Respuestas
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Comenzamos con una matriz cuadrada $M$ de dimensión $n$ . Podemos pensar en su $n$ columnas como vectores en $\mathbb{R}^n$ . Consideramos el hiperplano generado por la primera columna (por ejemplo, el complemento ortogonal de ese vector). A continuación, reflejamos cada una de las columnas sobre este hiperplano. En símbolos: $H_1M= [ H_1(v_1) \ldots H_1(v_n)]$ donde en el lado derecho utilizamos la notación funcional para $H_1$ . Ahora, porque $v_1$ es normal al hiperplano, $H_1(v_1)$ parece sencillo. El resto de los vectores se transforman como: 
Es decir, restamos dos veces sus proyecciones en $v_1$ (esto me da la fórmula de las reflexiones de los propietarios). A continuación, consideramos el $n-1$ submatriz dimensional de $H_1M:=M_2$ y repetir. La submatriz me lleva al hiperplano, ya que la primera reflexión deja invariante ese plano. Lo que estamos haciendo es cambiar la base (ya que las Reflexiones tienen $det \neq 0$ ) del espacio subyacente progresivamente para que los vectores tengan una buena representación (Eso es lo que es la descomposición QR, La Q contiene los vectores ortonormales, mientras que la R rastrea todos los cambios que hemos hecho).
Michael Wiles
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Supongamos que $V$ es un $n$ -espacio euclidiano. Entonces, dada una base ortonormal $(e_i)_{i=1}^n$ y una n-pareja arbitraria de vectores $(u_i)_{i=1}^n$ existe una secuencia de $n$ isometrías $H_1,...,H_n$ tal que
- $H_i$ es un reflejo del hiperplano o la identidad;
- todo vector de la forma $$r_j=H_nH_{n-1}\dots H_1(u_j),\qquad j=1,\dots, n,$$ es una combinación lineal de los vectores $e_1,\dots, e_j$ .
En otras palabras, la matriz $R$ cuyas columnas son los componentes de los vectores $r_j$ escrito sobre la base $(e_i)_{i=1}^n$ es triangular superior. Las isometrías $H_1,\dots, H_n$ que no son identidades (es decir, las reflexiones del hiperplano) corresponden a las matrices de Householder. La composición $$R=H_n\dots H_1A$$ produce directamente el $QR$ -descomposición de una matriz dada $A$ (cuyas columnas son los componentes de $u_j$ sobre la base dada).
La interpretación geométrica del $QR$ -decomposición puede encontrarse probablemente en varios lugares. Me gusta la presentación en Métodos geométricos y aplicaciones de Jean Gallier (consulte el apartado 7.3).
