Espacios de Teichmüller mediante representaciones

Question

No tengo mucha experiencia en este campo, pero me confunde un comentario que he escuchado sobre los espacios de Teichmüller.

Siempre tuve la impresión de que para una superficie $S$ (decir género $\geq 2$ ) que el espacio de Teichmuller de $S$ fue dada por $\mathcal{T}(S) = \{\text{Hyperbolic structures for S} \} / \text{homotopy}$ .

Me dijeron que esto es equivalente al espacio de representaciones fieles discretas $\phi: \pi_1(S) \rightarrow PSL_2(\mathbb{R})$ cotizada por $PGL_2(\mathbb{R})$ .

Mis preguntas son las siguientes:

1. ¿Por qué la representación se asigna a $PSL_2(\mathbb{R})$ ? Todas las representaciones que he visto se definen siempre como un mapa $\varphi: G\rightarrow GL_n(V)$ . Tal vez se trate de un caso en el que la palabra representación está sobrecargada y sólo significa una correspondencia, pero todas las fuentes que he visto utilizan la palabra representación y esto es un ligero punto de confusión para mí.

2. ¿Podría sugerir un recurso donde se demuestre la equivalencia entre ambas definiciones? Todo lo que he leído menciona que son equivalentes con muy poca justificación.

3. ¿Hay algún ejemplo en el que el uso de una definición en lugar de la otra facilite enormemente los cálculos?

Gracias.

Answer 1

He aquí algunas respuestas parciales que indican cómo abordar este problema.

Para la primera pregunta, si $G$ es un grupo y $X$ es un conjunto con alguna estructura (por ejemplo $X$ puede ser un grupo o un espacio vectorial o un espacio métrico o lo que sea), un homomorfismo $G \to Aut(X)$ , donde $Aut$ se refiere a que consideramos todas las biyecciones de $X$ a $X$ que conservan su estructura, se denomina representación de $G$ . Si $X$ es un espacio vectorial, entonces $Aut(X)$ es el grupo de los automorfismos lineales, es decir $GL(X)$ ; se acostumbra a decir en este caso que $\rho$ es una representación lineal. Si el homomorfismo es inyectivo, la convención es decir que la representación es fiel.

Fijar una superficie orientada cerrada $S$ del género $g$ con punto base preferido $s$ . Dada una representación fiel $\rho: \pi_1 (S,s) \to PSL(2,\mathbb{R})$ con imagen discreta, obtenemos una superficie hiperbólica. Para $PSL(2, \mathbb{R})$ puede identificarse con el grupo de isometrías del plano hiperbólico que preserva la orientación $\mathbb{H}^2$ y el cociente de $\mathbb{H}^2$ por la imagen de $\rho$ es homeomorfo a $S$ . (Deberá utilizar la teoría de espacios de cobertura para demostrarlo; la cobertura universal de $S$ es homeomorfo a $\mathbb{H}^2$ . Dado un punto en $S$ , elige un punto en la fibra de la proyección de cobertura universal, y mapea $s$ a la órbita de este punto. Se trata de un homeomorfismo bien definido. Demuéstralo)

Ahora, si $f:S \to X$ es una superficie hiperbólica marcada (esto significa que $f$ es un homeomorfismo y que $X$ es un cociente de $\mathbb{H}^2$ por un grupo discreto de isometrías que preservan la orientación), entonces consideramos el conjunto de pares $(X,f)$ . El espacio de Teichmuller puede definirse como el conjunto de superficies hiperbólicas marcadas hasta la equivalencia, donde $(X,f) \sim (Y,g)$ si $gf^{-1}$ es homotópica a una isometría. Lo que hay que analizar es cuál es la relación entre las representaciones inducidas $f_*$ y $g_*$ (los mapas a nivel de grupos fundamentales). La afirmación es que $(X,f) \sim (Y,g)$ si y sólo si las representaciones son conjugadas en $PGL(2,\mathbb{R})$ .

Si las dos representaciones son conjugadas mediante $A \in PGL(2, \mathbb{R})$ , entonces el mapa $\Gamma_X.p \mapsto \Gamma_Y.(ApA^{-1})$ , donde $\Gamma_X = \rho(\pi_1(S,s)$ y $p \in \mathbb{H}^2$ y $PGL(2, \mathbb{R})$ se identifica con el grupo de isometrías completo, es una isometría; tenga en cuenta que $X = \mathbb{H}^2/\Gamma_X$ es el espacio orbital. Para demostrar que $gf^{-1}$ es homotópico a una isometría, usted de nuevo querrás apelar a la teoría del espacio de cobertura y utilizar el hecho de que $S$ es un $K(\pi,1)$ espacio. La proposición 1B.9 del texto de Hatcher debería darte algunas ideas. Pero, hay muchos detalles que se dejan para usted. Probablemente hay una manera mucho más agradable de pensar en todo esto; pero supongo que implicaría el uso de nociones algo más sofisticadas.