Deja $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}.$ Deseo demostrar que $(\sum_{i=1}^n a_i^3)^2 \leq (\sum_{i=1}^n a_i^2)^3$ para probar otra afirmación. Pero no puedo ver cómo probar esto, si es que la desigualdad es cierta. ¿Alguien puede ayudarme?
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Vuelva a escribir la desigualdad deseada como $$\left(\sum^n_{i=1} a_i^{3}\right)^{1/3} \le \left( \sum^n_{i=1} a_i^2\right)^{1/2}.$$ Primero asuma que $\left( \sum^n_{i=1} a_i^2\right)^{1/2} = 1$. Entonces $\lvert a_i \rvert \le 1$ para todo $i$, y por lo tanto $a_i^3 \le a_i^2$ y así $$\sum^n_{i=1} a_i^3 \le \sum^n_{i=1} a_i^2 = 1 \,\,\,\, \implies \,\,\,\, \left(\sum^n_{i=1} a_i^3\right)^{1/3} \le 1.$$ Si $\left( \sum^n_{i=1} a_i^2\right)^{1/2} \neq 1$, entonces defina $A =\left( \sum^n_{i=1} a_i^2\right)^{1/2}$ y aplique este resultado anterior a $ \bar a_i = a_i/A$. Luego encontrará que $$\left( \sum^n_{i=1}\frac{a_i^3}{A^3}\right)^{1/3} \le 1 \,\,\,\,\,\, \implies \,\,\,\,\,\, \left( \sum^n_{i=1}a_i^3\right)^{1/3} \le A := \left(\sum^n_{i=1} a_i^2 \right)^{1/2}.$$ (Por supuesto, no puede dividir por $A$ si $A = 0$, pero en ese caso todo el vector es cero y la desigualdad es trivial).
Michael Rozenberg
Puntos
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Solo es necesario demostrar esta desigualdad para variables no negativas.
Ahora, sea $a_i^2=x_i.$
Por lo tanto, necesitamos demostrar que $$\left(\sum_{ciclo}x_i\right)^{\frac{3}{2}}\geq\sum_{i=1}^nx^{\frac{3}{2}},$$ lo cual se sigue de Karamata para una función convexa $f(x)=x^{\frac{3}{2}}.$
De hecho, sea $x_1\geq x_2\geq...\geq x_n$.
Por lo tanto, $$(x_1+x_2+...+x_n,0,...,0)\succ(x_1,x_2,...,x_n)$$ y tenemos: $$f(x_1+x_2+...+x_n)+f(0)+...+f(0)\geq f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n),$$ que es exactamente lo que necesitamos demostrar.
