Demostrar/desmentir: Si $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ entonces $\lim_{x\to\infty}\sin(f(x))$ no existe; y la pregunta relacionada

Question

Dejemos que $f$ sea una función con dominio $\mathbb{R}$ . ¿Cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa? Si es falsa, demuéstrelo con un contraejemplo. Si es verdadera, demuéstrela directamente a partir de las definiciones formales de un límite.

• (a) SI $\lim _{x\to\infty} f(x)=\infty$ ENTONCES $\lim _{x\to\infty} \sin (f(x))$ no existe.
• (b) SI $f(-1)=0$ y $f(1)=2$ ENTONCES $\lim _{x\to\infty} f(\sin (x))$ no existe.

Imagen de la pregunta original

Creo que la (a) es falsa y la (b) es verdadera sólo por intuición, pero no consigo dar un ejemplo para la primera ni entender cómo demostrar la segunda usando las definiciones.

Answer 1

Dejemos que $f$ tomar el valor constante $n\pi$ en $(n,n+1]$ para cada $n$ . Entonces $f(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ pero $f(\sin x )\equiv 0$ . Por lo tanto, a) es falso.

b) es verdadera. Considere los puntos $x=\pi /2 +2n\pi$ y $x=-\pi /2 +2n\pi$ para ver que $f(\sin x )$ no puede tener un límite en $\infty$ .

[ Si es posible dejar $f(\sin x) \to l$ . Entonces existe $T$ tal que $|f(\sin x)-l| <\frac 1 2$ para todos $x >T$ . Poner $x=\pi /2 +2n\pi$ (con $n$ lo suficientemente grande como para hacer $x >T$ ) para ver que $|2-l| <\frac 1 2$ y poner $x=-\pi /2 +2n\pi$ (con $n$ lo suficientemente grande como para hacer $x >T$ ) para ver que $|0-l| <\frac 1 2$ . De ello se desprende que $|2-0| \leq |2-l| +|l-0| <\frac 1 2+\frac 1 2=1$ que es una contradicción.