Hallar la probabilidad de ganar del jugador A y del jugador B

Question

Dos jugadores $A$ y $B$ están jugando un torneo.

Para el jugador $A$ (para un solo partido)

\begin{align}P(\text{Win})=\frac12\\ P(\text{Draw})=\frac16\\ P(\text{Lose})=\frac13\end{align}

El jugador que gane dos partidas consecutivas ganará el torneo.

Pregunta

Encuentre la probabilidad de

(i) $A$ ganar el torneo

(ii) $B$ ganar el torneo

Answer 1

Para el jugador $A$ tenemos la siguiente probabilidad, para cada juego:

$$ P(Win) = p_W = \frac{1}{2}$$ $$ P(Draw) = p_D = \frac{1}{6}$$ $$ P(Loose) = p_L = \frac{1}{3}$$

Hay una forma de abordar este problema considerando estados .

Por ejemplo, en un momento dado, si la última partida fue un empate (D), entonces los dos jugadores están en la misma situación, independientemente de las partidas anteriores, suponiendo que nadie haya ganado antes. Esto corresponde a un neutro estado. Este estado neutro también se alcanza al inicio del torneo.

Llamaremos :

• $P_0$ la probabilidad del estado neutro
• $P[W]$ la probabilidad del estado alcanzado cuando $A$ ha ganado el último partido, pero no el anterior
• $P[WW]$ la probabilidad del estado correspondiente a una victoria final para $A$ Es decir, ganó los dos últimos partidos
• $P[L]$ la probabilidad del estado alcanzado cuando $A$ ha perdido el último partido, pero no el anterior
• $P[LL]$ la probabilidad del estado correspondiente a una pérdida final para $A$ Es decir, ha perdido los dos últimos partidos

Entonces, es sencillo obtener las siguientes relaciones:

$$P_0(t=0) = 1$$ $$P[W](t=0) = P[L](t=0) = P[WW](t=0) = P[LL](t=0) =0$$ $$P_0(t+1) = 1 + p_d(P_0 + P[W] + P[L])(t) $$ $$P[L](t+1) = p_L (P_0(t) + P[W])(t) $$ $$P[W](t+1) = p_W (P_0 + P[L])(t) $$ $$P[WW](t+1) = p_W P[W](t)$$ $$P[LL](t+1) = p_L P[L](t)$$

Por último, la probabilidad global $P[WW]$ se obtiene sumando todos los $P[WW](t)$ sobre (t).

En este punto, todavía hay que trabajar mucho para conseguir $P[WW]$ pero el problema se ha simplificado.

Nota: una figura que representa los estados y sus diferentes relaciones ayuda a entender el método y las relaciones anteriores. Esta figura es relativamente fácil de dibujar a mano, te animo a hacerlo.

A veces existe la posibilidad de abordar este tipo de problema definiendo polinomios que representen el estado de un estado en todo momento, por ejemplo:

$$P_0(X) = 1 + P_0(1) X + P_0(2) X^2 + P_0(3) X^3 + \dots$$

y traducir las relaciones anteriores en términos de polinomios.

Por ejemplo: $$P_0(X) = 1 + p_D\,X(P_0(X) + P[W](X) + P[L](X)) $$

En este caso, al final, $P[Final Win] = P[WW](X=1)$

Te dejaré que lo explores si quieres.

Answer 2

Tomando la ayuda del enfoque de @Damien
Primero me di cuenta de que

P( $A_w$ )+P(B $_w$ )=1

Porque la probabilidad de que el torneo continúe para siempre, es decir, que nadie gane, es cero.
La suma de las probabilidades de todas las combinaciones posibles hasta el último sorteo es la misma para A y B
$$X=\sum_{}{} P(......D)$$
Casos después del último sorteo para la victoria de A={LWW,LWLW,....} U {WW,WLWW,....}
$$P(A_w)=X*(1/4)*\sum_{n=0}^{\infty}(1/6)^n+X*(1/4)*(1/3)*\sum_{n=0}^{\infty}(1/6)^n$$ $$P(A_w)=X*(1/4)*(6/5)*(1+1/3)$$ $$P(A_w)=2X/5$$ Asimismo, $$P(B_w)=X/5$$
Ahora poniendo en la ecuación anterior $$P(A_w)+P(B_w)=1$$ $$X=5/3$$ $$P(A_w)=2/3$$ $$P(B_w)=1/3$$

Perdón por el mal formato soy nuevo en este sitio.
Se agradecería cualquier edición

Answer 3

Para (i), puedes intentar considerar todos los casos posibles y encontrar un patrón. En el caso de la pregunta, todos los casos posibles significarían dejar que el torneo "se desarrolle hasta el infinito".

Para (ii), puedes utilizar la idea de complemento.