5 pasos de prueba - suma de cuadrados

Question

Estoy leyendo una prueba y me parece muy poco clara. La prueba contiene 5 pasos, y entiendo cada uno de ellos. Sin embargo, el autor no dice cómo esos 5 pasos realmente justifican el teorema. ¿Podría echar un vistazo a estos pasos y echarme una mano para explicar cómo se ha demostrado la tesis?

Teorema

Número natural $n$ puede representarse como suma de cuadrados de dos números si en su factorización prima, todos los divisores primos de la forma $p = 4m+3$ se elevan a potencias pares.

5 pasos para probar

Llamemos al número $n$ representable si y sólo si $$\exists_{x_0, y_0 \in \mathbb{N}_0}: n = x_0^2+y_0^2$$

Paso 1

Observe que $1, 2$ y $p = 4m+1$ son representables

Paso 2

Si $n_1, n_2$ son representables entonces $n_1 \cdot n_2$ es representable.

Paso 3

Si $n$ es representable entonces $nz^2, z \in \mathbb{N}$ es representable

Paso 4

Si $p = 4m+3$ divide el número representable $n = x^2+y^2$ entonces $p$ divide $x$ y $y$ . También $p^2 \mid n$

Paso 5

Si $n$ es representable y $p = 4m+3$ divide $n$ entonces $p^2 \mid n$ y $\frac{n}{p^2}$ es representable.

¿Podría echarme una mano diciendo cómo estos 5 pasos demuestran realmente la tesis?

Answer 1

A. Si $n$ es de la forma indicada, entonces se puede representar.

Prueba. Inducción (fuerte) sobre $n$ : Dejemos que $n$ ser de la forma indicada y sabemos que cada $n'<n$ de la forma indicada es representable. Si $n$ no tiene ningún factor primo, entonces $n=1$ que es representable según el paso 1. Por lo tanto, podemos suponer que $n$ tiene algún factor primo $p$ .

• Si $p\equiv 3\pmod 4$ entonces, de hecho $p^2\mid n$ y así por el paso 3, $n'=\frac{n}{p^2}$ es un número de la forma indicada, por lo tanto es representable por hipótesis de inducción, y por el paso 3, también lo es $n$

• Si $p=2$ o $p\equiv 1\pmod 4$ entonces $p$ es representable y $n'=\frac np$ es de la forma indicada, por lo tanto representable, por lo tanto por los esteos 1 y 2, también lo es $n$ . $\square$

B. Si $n$ es representable, entonces $n$ es de la forma indicada.

Prueba. (Fuerte) inducción de nuevo: Sea $n$ sea representable y sabemos que todo representable $n'<n$ es de la forma indicada.

Si no hay $p\equiv 3\pmod n$ con $p\mid n$ entonces $n$ es de la forma indicada y hemos terminado. Así que supongamos $p\mid n$ para algún primo $p\equiv 3\pmod 4$ . Entonces, en el paso 5, $p^2\mid n$ y $n'=\frac n{p^2}$ es representable. Por hipótesis de inducción, $n'$ tiene la forma indicada, pero entonces también la tiene $n=p^2n'$ . $\square$

Answer 2

$\Leftarrow$ :

Dejemos que $A$ sea el conjunto de divisores primos de $n$ de la forma $4m+3$ y que $B$ sea el conjunto restante de divisiones primarias, es decir, podemos reescribir $n$ de la factorización de primos como: $$n = \prod_{a_i \in A} a_i^{e_i} \prod_{b_i \in B} b_i^{f_i} = \alpha \beta$$ donde $ \alpha = \prod_{a_i \in A} a_i^{e_i}$ y $\beta = \prod_{b_i \in B} b_i^{f_i}$ .

La pregunta afirma que todos los $e_i$ son pares, es decir $\alpha$ es un cuadrado perfecto. Entonces por el paso 3 (y usando que el número $1$ es representable desde el paso 1), tenemos $\alpha$ es representable. También los divisores primos de $\beta$ será de la forma $4m + 1$ y/o $2$ . De nuevo por el paso 1 y el paso2, $\beta$ es representable. Entonces por el paso 2, $n = \alpha \beta$ es representable.

$\Rightarrow$ : Dejemos que $p$ sea un factor primo de la forma $4m+3$ que divide $n$ . Utilicemos el método de la contradicción, es decir, supongamos $p$ en la factorización primaria de $n$ es $2k + 1$ . Entonces, utilizando el paso 5 repetidamente, obtenemos que $\frac{n}{p^2}, \frac{n}{p^4}$ y finalmente $\frac{n}{p^{2k}}$ es representable. Pero entonces $p$ sigue dividiendo $\frac{n}{p^{2k}}$ , lo que en el paso 4 significa que $p^2$ divide $\frac{n}{p^{2k}}$ . Pero esto significa que $p's$ exponente en la factorización de primos de $n$ es al menos $2k+2$ . Esto es una contradicción.