Encuentre el valor máximo del $f(x) = \sqrt {8x - x^2} - \sqrt {14x - x^2 - 48}$ .

Question

El mayor valor de la función $f(x) = \sqrt {8x - x^2} - \sqrt {14x - x^2 - 48}$ se escribe en el formato $"m \sqrt n"$ . Encuentre $m + n$ .

Mi intento:

Una forma tradicional sería diferenciar la función con respecto a $x$ y equipararlo a $0$ .

$$f'(x) = \frac {8 - 2x}{\sqrt {8x - x^2}} - \frac {14 - 2x}{\sqrt {14x - x^2 - 48}}$$

A partir de aquí, llegué a la conclusión de que : $6 < x < 8$

Ecuación $f'(x)$ a $0$ Me sale $x = 6.4$ . Pero esa no es la respuesta. La respuesta es $x = 6$ y por lo tanto $m+n = 5$ . (m y n son números enteros)

Mi primera duda es $6$ da $f'(x)$ como ' $- \infty$ ', que no es un máximo o un mínimo porque sabemos que la pendiente de cualquier curva en los máximos o mínimos es $0$ y por lo tanto $f'(x)$ debe ser $0$ .

La segunda es que incluso si suponemos que $6$ es la respuesta, por qué fue $6.4$ no se toma como respuesta.

Answer 1

El dominio de la función es $6\le x \le 8$ . Con la derivada se obtiene el máximo y el mínimo en $(6,8)$ pero entonces debes calcular la función en los boudaries. En este caso $x=6,4$ es un punto local donde $f'(x)=0$ pero no es el máximo porque $f(6)>f(6,4)$ .

$f(6)=\sqrt 12 = 2\sqrt3$ y $2+3=5$ .

La función en $x=6$ está definida pero su pendiente es infinita (línea tangente en $x=6$ es vertical y se puede pensar que el coeficiente angular es infinito).

Answer 2

Una solución mucho mejor

Consideremos los dos círculos $$(x-4)^2+y^2 = 16$$ $$(x-7)^2 + y^2 = 1$$

Tenemos que encontrar el máximo $y$ desplazamiento posible para un determinado $x$ entre estos dos, que se produciría en $x = 6$ como es obvio al dibujar estos círculos

A partir de la geometría, también se puede deducir el rango de x para el que se obtendrá una salida real. Como se puede ver, sólo para $6 \le x \le 8$ la función realmente devuelve un valor de $y$ ya que el círculo más pequeño sólo se extiende hasta ese punto