La serie $\sum_{n=0}^{\infty} n^kp^n$

Question

Dejemos que $k$ sea un número entero no negativo, $p$ sea un número primo y considere el $\mathbb{Q}_p$ -serie $a(k,p) = \sum_{n=0}^{\infty} n^kp^n$ (converge, ya que $n^kp^n \to 0$ en $\mathbb{Q}_p$ por razones obvias). Demostrar que $a(k,p) \in \mathbb{Q}$ y que para cualquier $k$ el conjunto $\{a(k,p): p - \mbox{prime}\}$ es infinito.

No conozco un criterio general para verificar si una serie en $\mathbb{Q}_p$ está en $\mathbb{Q}$ . Wolfram Alpha dio una forma cerrada realmente implícita de esta serie; por otro lado veo que usando derivadas adecuadamente podría funcionar, pero no llegó a nada adecuado.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Un boceto: Puede calcular $a(k,p)$ directamente utilizando la serie geométrica y sus derivaciones:

Dejemos que $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$$ para que $a(0,p)=f(p)=\frac{1}{1-p}$ es racional.

Ahora $f'(x)=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{x}\sum_{n=0}^\infty nx^{n}$ , lo que significa que $a(1,p)=pf'(p)$ también es racional y así sucesivamente.

En general, para la función $a(k,x)=\sum_{n=0}^\infty n^k x^n$ tenemos $$\frac{d}{dx} a(k,x)=\sum_{n=0}^\infty n^{k+1} x^{n-1}=\frac{1}{x}\sum_{n=0}^\infty n^{k+1} x^{n}=\frac{a(k+1,x)}{x}$$

Editar: Bueno $a(0,p)=\{\frac{1}{1-p}:p\text{ is prime}\}$ es un conjunto infinito. Ahora $a(1,p)=p\frac{d}{dp}(0,p)=\frac{p}{(1-p)^2}$ así $\{a(1,p):p\text{ is prime}\}$ también es infinito.

Supongamos ahora que el conjunto $\{a(k,p):p\text{ is prime}\}$ es infinito y demostrar por inducción que $\{a(k+1,p):p\text{ is prime}\}$ también es infinito.