Descripción de módulos sobre álgebras autoinjetivas de tipo de representación finita

Question

¿Existe alguna descripción de los módulos indecomponibles y de los morfismos irreducibles sobre álgebras autoinjetivas de tipo de representación finita? Estoy interesado principalmente en una descripción de este tipo para álgebras no estándar de tipo árbol $D_{3n}$ . Modulo de equivalencia estable, tal álgebra puede ser representada por:

• un carcaj $Q$ cuyos vértices son $Q_0 = \{0, \ldots, n-1\}$ (considerado modulo $n$ ), y cuyas flechas son $b\colon 0\to 0$ y $a_i\colon i\to i+1$ para $(0 \leq i \leq n-1)$ ,

• y un ideal $I$ generado por los elementos $a_i\cdots a_0 a_{n-1}\cdots a_i$ , $b^2 + a_{n-1}\cdots a_0$ y $a_0 a_{n-1} + a_0 b a_{n-1}$ .

La característica del campo es igual a $2$ .

Answer 1

Tales álgebras fueron denominadas por Gabriel "álgebras de penique". Obsérvese en primer lugar que esta álgebra es equivalente al zócalo de las álgebras "estándar", por lo que la teoría de la representación de las estándar y de las no estándar es más o menos la misma. El artículo https://eudml.org/doc/152308 resume la representación-teoría de esta álgebra, pero sin dar demasiados detalles y está en alemán. El capítulo 4 del reciente libro de texto de Skowronski y Yamagata discute en general cómo obtener el carcaj de Auslander-Reiten de las álgebras autofinitas de representación. Es un ejercicio para calcular el quiver de Auslander-Reiten para las álgebras de centavo con 6 módulos simples. Estaría interesado en una solución rápida de este ejercicio. La solución completa y detallada debería llevar horas para escribirla con todas las pruebas.