Simple confusión sobre $\vartheta(x)$

Question

Por definición $\vartheta(x) \leq \psi(x). \hspace{20mm}(1) $

y también sabemos

$\frac{\psi(x)}{x} \sim \frac{\vartheta(x)}{x},\hspace{45mm}(2) $

El resultado de Littlewood de que, para grandes x, sucesivamente

$\pi(x) - Li(x) < -K\frac{\sqrt{x}\log\log\log x}{\log x},$

$\pi(x) - Li(x) > K \frac{\sqrt{x} \log\log\log x}{\log x} $

también se expresa con los cambios adecuados en términos de

$\psi(x) -x.$

Mi confusión es la siguiente. Si $\psi(x) < x $ entonces ciertamente $\vartheta(x) < x$ por (1). Si $\psi(x) > x$ (1) sigue siendo válida al igual que (2), pero parece que $\vartheta(x)$ podría satisfacer ambos (1),(2) y aún así ser menor que x. Lo que significa que podríamos decir $\vartheta(x) < x $ infinitamente a menudo, pero no necesariamente que sea mayor que x.

Lo mismo ocurre con $\vartheta(x) - x $ ¿también cambiar de signo infinitamente a menudo o no necesariamente?

Gracias por cualquier aclaración.

Answer 1

Se sabe que $\theta(x)-x$ cambia de signo infinitamente a menudo. Estoy de acuerdo en que no es una consecuencia inmediata de los hechos que has enumerado arriba. Sin embargo, la prueba de Littlewood tiene formas que se aplican a $\psi$ , $\theta$ et $\pi$ .

De hecho, las oscilaciones de $\psi(x)-x$ son tan grandes como una constante de veces $\sqrt x \log\log\log x$ (como aludes arriba); y es fácil ver que $\psi(x)-\theta(x)$ es siempre a lo sumo una vez constante $\sqrt x$ . Combinando estos dos hechos obtenemos oscilaciones de $\theta(x)-x$ que también son tan grandes como una constante veces $\sqrt x \log\log\log x$ .