Ecuación ondulatoria con condiciones de contorno constantes

Question

Necesito encontrar una solución formal para

\begin{eqnarray} &u_{tt} &= c^2 u_{xx}, \;\;\;0<x<1, \mathrm{and \;}t>0\\ &u(x,0)&=x+1,\\ &u_t(x,0)&=x(1-x), \;\;\;\;0 \leq x \leq 1\\ &u(0,t) &= 1,\\ &u(1,t)&= 2, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; t\geq 0 \end{eqnarray}

Intenté hacer la separación de variables y asumir $u(x,t)=X(x)\cdot T(t)$ pero las condiciones de contorno me confunden.

Me sale $X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0$ Así que $X(x) = \alpha e^{-\sqrt{-\lambda}x}+\beta e^{\sqrt{-\lambda}x}$ . Cuando uso $X(0)=1$ y $X(1)=2$ me sale,

\begin{eqnarray} \beta &=& \frac{2-e^{-\sqrt{-\lambda}}}{e^{\sqrt{-\lambda}}+e^{-\sqrt{-\lambda}}}\\ \alpha&=& \frac{2e^{-\sqrt{-\lambda}}+e^{\sqrt{-\lambda}}-2}{e^{\sqrt{-\lambda}}+e^{-\sqrt{-\lambda}}}, \end{eqnarray}

pero siento que esto no me lleva en la dirección correcta. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

La separación de variables sólo funciona para condiciones de contorno homogéneas. Empiece por reducir a homogénea restando una solución de la EDP que satisfaga las condiciones de contorno. En concreto, dejemos que $v(x,y) = u(x,y)-1-x$ . La nueva función satisface $$ \begin{split} v_{tt} &= c^2 v_{xx}, \quad 0<x<1, \mathrm{and \;}t>0\\ v(x,0) &= 0,\\ v_t(x,0)&=x(1-x), \quad 0 \leq x \leq 1\\ v(0,t) &= 0,\\ v(1,t) &= 0, \qquad t\geq 0 \end{split} $$ El resto es estándar: resolver $X''+\lambda X=0$ , obteniendo $X_n(x) = \sin \pi nx$ y $\lambda = (\pi n)^2$ . A continuación, busque los coeficientes en $$u(x,t)= (A_n \cos \pi n t+B_n \sin \pi n t) \sin \pi n x$$ que coinciden con las condiciones iniciales.