¿Necesito matrices Gamma en representación de Majorana en el Lagrangiano de un fermión de Majorana?

Question

Entiendo que la representación de Majorana de las matrices Gamma son las representaciones reales del álgebra de Clifford asociada. Un fermión de Majorana se define como un fermión que es igual a su conjugación de carga.

Cuando escribo el Lagrangiano de un fermión de Majorana $\psi$ tendré que escribir el espinor adjunto $\bar{\psi}\equiv\psi^{\dagger}\gamma^{0}$ así como $\partial\!\!\!/\equiv\gamma^{\mu}\partial_{\mu}$ . ¿Tengo que utilizar la representación de Majorana de $\gamma^{\mu}$ para este fermión de Majorana?

Entiendo que la representación del espinor del grupo de Lorentz ya está contenida en el álgebra de Clifford. Así que supongo que como $\psi$ vive en el espacio de representación del espinor real del grupo de Lorentz, las matrices asociadas $\gamma^{\mu}$ en el álgebra de Clifford debe tomarse también en la representación de Majorana. ¿Es eso correcto?

Answer 1

En Euclides $d=2k$ dimensiones, podemos tomar $\gamma^1, \gamma^2,\ldots, \gamma^{2k}$ para que sea hermitiana. También podemos disponer de la habitual $a_n, a^\dagger_n$ construcción para que el $\gamma^i$ son simétricos para impar $i$ y antisimétrico para los pares $i$ . Suponiendo que esto sea así, definimos $$C_1 = \prod_{i{\rm\, odd}} \gamma^i, \quad C_2= \prod_{i{\rm \,even}} \gamma^i,$$ y utilizarlos para construir ${\mathcal C}$ y ${\mathcal T}$ tal que $${\mathcal C}\gamma^i {\mathcal C}^{-1} = - (\gamma^i)^T,$$ $${\mathcal T}\gamma^i {\mathcal T}^{-1} = + (\gamma^i)^T.\nonumber$$ Encontramos que para

{k=0, mod 4}: ${\mathcal C}=C_1$ simétrico, ${\mathcal T}=C_2$ simétrico. Ambos ir al trabajo con $\gamma^{2k+1}$ .

{k=1, mod 4}: ${\mathcal C}=C_2$ antisimétrico, ${\mathcal T}=C_1$ simétrico. Ambos anticomunicación con $\gamma^{2k+1}$ .

{k=2, mod 4}: ${\mathcal C}=C_1$ antisimétrico, ${\mathcal T}=C_2$ antisimétrico. Ambos ir al trabajo con $\gamma^{2k+1}$ .

{k=3, mod 4}: ${\mathcal C}=C_2$ simétrico, ${\mathcal T}=C_1$ antisimétrico. Ambos anticomunicación con $\gamma^{2k+1}$ .

En un cambio de base $\gamma^\mu \to A\gamma^\mu A^{-1}$ para las matrices gamma, ${\mathcal C}$ y ${\mathcal T}$ ya no vendrá dada por las expresiones del producto explícito $C_1$ y $C_2$ pero en su lugar se transforman como
$${\mathcal C} \to A^T {\mathcal C} A,\quad {\mathcal T} \to A^T {\mathcal T} A.$$ La simetría o antisimetría de ${\mathcal C}$ , ${\mathcal T}$ no cambia, por lo que es una propiedad independiente de la base. Otra forma de pensar en esto es hacer uso de la transposición de las transformaciones definitorias. Vemos entonces que ${\mathcal C}^{-1}{\mathcal C}^T$ y ${\mathcal T}^{-1}{\mathcal T}^T$ viajar con todos los $\gamma^\mu$ y así, por el lema de Schur, tanto ${\mathcal C}, {\mathcal T}$ son proporcionales a su transposición. Entonces, transponiendo de nuevo, $$C= \lambda C^T \Rightarrow C= \lambda^2 C$$ así que $\lambda=\pm 1$ en cualquier representación. Dado que la Euclidiana $\gamma^\mu$ son herméticos, un argumento similar muestra que ${\mathcal C}^\dagger {\mathcal C}$ es proporcional a la identidad. Como ${\mathcal C}^\dagger {\mathcal C}$ es un operador positivo, el factor de proporcionalidad es positivo --- así que ${\mathcal C}, {\mathcal T}$ puede ser escalado por un factor real para que sea unitario en todas las representaciones.

En dimensiones Impares tenemos que preguntarnos si estos objetos conmutan o anticonmutan con la matriz gamma extra. Podemos construir (pero no es fácil de mostrar en MathJax) una tabla que muestre el resultado de este examen. Muestra si las matrices existen, y si son simétricas (S), o antisimétricas (A). La tabla se repite mod 8.

Cuando ${\mathcal T}$ es simétrica podemos encontrar una base en la que ${\mathcal T}= {\mathbb I}$ y todas las matrices gamma euclidianas son reales. Cuando ${\mathcal C}$ es simétrica podemos encontrar una base en la que todas las matrices gamma son puras imaginario .

Conjugación de cargas: Definimos los campos de carga conjugada por
$$\psi^c= {\mathcal C}^{-1}{\bar \psi}^T= {\mathcal C}^{-1}(\gamma^0)^T \psi^*,$$ $$\bar \psi^c = -\psi^T {\mathcal C}.\nonumber$$ La transformación de $\bar \psi$ (que en el espacio euclidiano es independiente de $\psi$ ) se elige para que sea coherente con la versión de Minkowski. Para obtener esta versión de la firma de Minkowski, primero observamos que podemos utilizar la misma ${\mathcal T}$ y ${\mathcal C}$ matrices como en el espacio euclidiano --- la inclusión de factores de $i$ en la transposición $\gamma^\mu$ no cambia la fórmula. Consideremos, por ejemplo, la métrica de Minkowski mayormente menos $(+,-,-,\ldots)$ en el que $\gamma^0$ es hermitiana y obedece a $(\gamma^0)^2=1$ . Entonces $$\psi^c= {\mathcal C}^{-1} (\gamma^0)^T \psi^*\, \Rightarrow (\psi^c)^\dagger = \psi ^T(\gamma^0)^T {\mathcal C},$$ como ${\mathcal C}$ sigue siendo unitaria en el espacio de Minkowski. Entonces tenemos $$\overline{(\psi^c)}\equiv (\bar \psi)^c = (\psi^c)^\dagger \gamma^0$$ $$= \psi^T (\gamma^0)^T {\mathcal C} \gamma^0$$ $$=- \psi^T \,{\mathcal C} \gamma^0 {\mathcal C}^{-1}{\mathcal C} \gamma^0$$ $$= -\psi^T \,{\mathcal C}.\nonumber$$

A partir de estos resultados, y con la anticonmutación $\psi$ 's, encontramos que $$\bar \psi^c \gamma^\mu\psi^c =[ - \psi^T {\mathcal C}]\gamma^\mu [{\mathcal C}^{-1} (\gamma^0)^T\psi^*]= \psi^T (\gamma^\mu)^T(\gamma^0)^T \psi^* = - \psi^*\gamma^0 \gamma^\mu \psi =- \bar \psi \gamma^\mu\psi.$$ Del mismo modo, tenemos $$\bar \psi^c \psi^c =- \psi^T \bar \psi^T = \bar\psi\psi.$$ La densidad de corriente de espín se transforma como $$\bar \psi^c \gamma^0 [\gamma^i,\gamma^j]\psi^c= -\bar\psi \gamma^0 [\gamma^j, \gamma^i]\psi = \bar \psi \gamma^0 [\gamma^i,\gamma^j]\psi.$$ Así que, como resultado de la multiplicación de seis (¡!) signos menos, el giro queda inalterado.

Utilizando la propiedad de anticonmutación de los campos de Fermi, encontramos ahora que, tanto en firmas euclidianas como de Minkowski, $$S= \int d^n x\, \bar \psi [\gamma^\mu (\partial_\mu+A)+m]\psi = \int d^n x\, {\bar\psi}^c [\gamma^\mu (\partial_\mu-A^T)+m]\psi^c.$$ El $-A^T$ son los campos con valores de representación del álgebra de Lie en la representación conjugada a la de $A$ y así $\psi_c$ tiene la carga'' opuesta a $\psi$ .

Fermiones marjoranos con firma de Minkowski: Hemos definido $$\psi^c= {\mathcal C}^{-1} (\gamma^0)^T \psi^*$$ así, con ${\mathcal C}^T=\lambda {\mathcal C}$ encontramos $$(\psi^c)^c= {\mathcal C}^{-1} (\gamma^0)^T ({\mathcal C}^{-1} (\gamma^0)^T\psi^*)^*$$ $$= {\mathcal C}^{-1}(\gamma^0)^T {\mathcal C}^T\gamma^0 \psi$$ $$= \lambda \,{\mathcal C}^{-1}(\gamma^0)^T {\mathcal C}\gamma^0 \psi$$ $$= -\lambda \gamma^0 \gamma^0\psi$$ $$= -\lambda \psi.$$ Por lo tanto, podemos imponer de forma coherente la condición de Majorana de que $\psi^c=\psi$ sólo si ${\mathcal C}$ es antisimétrico: es decir, en 2, 3, 4 (mod 8) dimensiones. Una forma alternativa de ver esto es considerar el mapa $\psi\to \psi^c$ como un mapa antilineal $J: {\rm Pin} \to {\rm Pin}$ donde ${\rm Pin}$ es el espacio de representación de la matriz gamma. Si $J^2=id$ Esto es estructura real en el complejo ${\rm Pin}$ espacio.

También podemos definir otro conjugado $$\psi^t= {\mathcal T}^{-1}{\bar \psi}^T$$ $$\bar \psi^t = \psi^T {\mathcal T}.\nonumber$$ Esto invierte la corriente, deja de nuevo el giro sin cambios, pero invierte el signo de $\bar\psi \psi$ . Si exigimos que $(\psi^t)^t=\psi$ , el álgebra casi idéntica muestra que esto define una estructura real sólo cuando ${\mathcal T}$ es simétrico por lo tanto en d= 8, 9 (mod 8). (El caso d=10 (mod 8) es Majorana Weyl). Algunas personas consideran que las representaciones de la matriz gamma con esta estructura real también son de Marjorana. Creo que son las que José} Figueroa-O'Farril llama pseudo-Majorana. Porque esta conjugación'' invierte $\bar\psi\psi$ Estos fermiones pseudo-mayoritarios son necesariamente sin masa. Es desafortunado que en la métrica mayoritariamente menor de West las matrices gamma de una representación pseudo-Majorana puedan ser elegidas para ser real , mientras que en un Majorana sólo pueden elegirse imaginarios puros. Es al revés en la métrica mayoritaria de la costa este.

Fermiones euclidianos marjoranos: Supongamos que tenemos una función propia del operador de Dirac (sesgado-adjunto) $D=\gamma^\mu \partial_\mu$ tal que
$${D}u_n=i\lambda_n u_n,$$ entonces $${D}^* u^*=-i\lambda u^*_n.$$ Suponiendo que los campos gauge están en representaciones reales, esto se puede escribir como
$${\mathcal C} {D} {\mathcal C}^{-1} u^*_n = i\lambda_n u^*_n,$$ o $${D} {\mathcal C}^{-1} u^*_n = i\lambda_n {\mathcal C}^{-1} u^*_n.$$ Así, $u_n$ y ${\mathcal C}^{-1} u_n^*$ son ambas funciones propias de ${D}$ con el mismo valor propio. Serán linealmente independientes cuando ${\mathcal C}$ es antisimétrico --- algo que ocurre en $2,3,4$ (mod 8) dimensiones euclidianas. Estas son precisamente las dimensiones en las que { \it Espacio de Minkowski/} Pueden aparecer espinores de Majorana.
Esto sugiere que tomemos la
La acción euclidiana de Majorana-Dirac será $$S[\psi]= \frac 12 \int d^nx \,\psi^T {\mathcal C}( {D}+m)\psi$$ y el ajuste $$\psi (x) = \sum_n[ \xi_n u_{n}(x)+ \eta_n( {\mathcal C}^{-1}u_{n}^*(x)],$$ $$\psi^T(x) = \sum_n [\xi_n u^T_n(x) - \eta_n (u_n^\dagger(x) {\mathcal C}^{-1})],\nonumber$$ para que $$S= \frac 12 \int d^nx \sum_{i,j} ( \xi_i u^T_i - \eta_i u_i^\dagger {\mathcal C}^{-1}) {\mathcal C}(i\lambda_j+m)( \xi_j u_j+ \eta_j {\mathcal C}^{-1}u_j^*)$$ $$= \frac 12 \int d^nx \sum_{i, j}\left\{ \xi_i\eta_j (u^T_i u_j^*) + \xi_j \eta_i (u_i^\dagger u_j)\right\}(i\lambda_j+m)$$ $$= \sum_i \xi_i\eta_i (i\lambda_i+m).\nonumber$$ La integración de Grassmann utiliza sólo una copia del valor propio doblemente degenerado, por lo que da la raíz cuadrada del determinante completo de Dirac.

Answer 2

Para la primera parte, no es necesario utilizar una representación de Majorana para un fermión de Majorana. Depende de ti. La condición para ser un Majorana sólo se expresa de forma diferente en distintas representaciones, pero sigue significando lo mismo físicamente.

Sin embargo, si tu fermión vive en el espacio real, entonces estás asumiendo implícitamente que ya estás en la rep de Majorana. Entonces tus matrices gamma sí tendrán que estar de acuerdo con esa elección.