Ramas en el análisis complejo

Question

Todavía no sé cómo trabajar con las ramas. Entiendo que es una forma de definir funciones multivaluadas continuas, pero cómo aplicarlo a un problema concreto aún no sé cómo hacerlo.

Este es un ejercicio de Gamelin Análisis complejo (p53):

Considere la rama de $f(z)=\sqrt{z(1-z)}$ en $\mathbb{C}-[0,1]$ que tiene parte imaginaria positiva en $z=2$ . ¿Qué es? $f'(z)$ ? Asegúrese de especificar la rama de la expresión para $f'(z)$ ?

Tengo varias preguntas:

1. En cuanto a la función $f(z)=\sqrt{z(1-z)}$ . Sé que esta función tiene "dos puntos especiales", en $z=0$ y $z=1$ , lo que significa que si hago un giro alrededor de uno de estos puntos, obtengo una fase extra. Pregunta: ¿por qué excluyo al mus? $[0,1]$ y no sólo los puntos $0$ y $1$ ?

2. No hay ningún problema en obtener la derivada (es sólo cálculo rutinario), pero ¿qué significa "... que tiene parte imaginaria positiva en $z=2$ "?

3. Por último, ¿cómo puedo obtener la expresión de la rama para $f'(z)$ ¿y por qué elegir esa rama?

Answer 1

1. Como dices, si te mueves alrededor de un pequeño círculo centrado en $0$ o $1$ tratando de mantener $f(z)$ continua, se termina con un valor que es $-$ con lo que has empezado. Por lo tanto, no hay ninguna versión de esta función que sea continua en dicha circunferencia (o más generalmente, en cualquier curva cerrada que tenga una de $0$ y $1$ interior y el otro exterior). Cualquier conjunto abierto que no incluya una curva cerrada de este tipo debe excluir una curva que una $0$ a $1$ o dos curvas que se unen $0$ al complejo $\infty$ y $1$ al complejo $\infty$ .
2. Hay dos valores posibles para $f(2) = \sqrt{-2}$ , a saber $\sqrt{2}i$ y $-\sqrt{2}i$ . Usted quiere $+\sqrt{2}i$ . Una vez especificado esto, el requisito de continuidad en $\mathbb C - [0,1]$ determina el valor de $f$ en cualquier otro punto.
3. Desde $f(z)^2 = z (1-z)$ , $2 f(z) f'(z) = 1 - 2 z$ es decir $$ f'(z) = \dfrac{1-2z}{2 f(z)} $$