Evaluación de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{2^{n}}$

Question

Evaluar $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{2^{n}}$$

Se trata de una serie geométrica y como $a = \dfrac{1}{2}$ Entonces, la suma infinita es $S = \dfrac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$ Luego multiplico por $2$ para conseguir $4$ ¿verdad? Pero la respuesta real debería ser simplemente $2$ . ¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{2}{{{2^n}}}} = 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( {\frac{1} {2}} \right)}^n}} = 2.\frac{{1/2}} {{1 - 1/2}} = 2.1 = 2$$

Answer 2

El primer término en $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots$ es $\frac{1}{2}$ por lo que la suma de las series geométricas es $\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1$ .

Otra forma de hacerlo es absorber el $2$ en el denominador y luego cambiar el índice de $n$ a $k = n-1$ :

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots= \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$$

Answer 3

Casi correcto. Tenga en cuenta que la fórmula indicada sólo funciona para

$$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2$$