Teorías ecuacionales determinadas por "identidades sin variables"

Question

Cómo caracterizar las teorías ecuacionales $T$ que tienen la siguiente propiedad: para dos términos cualesquiera $t(x_1,...,x_n)$ y $t'(x_1,...,x_n)$ en la firma de $T$ si para cualquier término cerrado (es decir, sin variables) $c_1$ , ..., $c_n$ la identidad $t(c_1,...,c_n)=t'(c_1,...,c_n)$ se deduce de (las identidades de) $T$ entonces también lo hace $t(x_1,...,x_n)=t'(x_1,...,x_n)$ .

En términos algebraicos esto significa caracterizar aquellas variedades de álgebras que son generadas por su álgebra inicial (el álgebra libre sobre el conjunto vacío).

El único ejemplo ampliamente conocido de esto que he podido encontrar es la teoría/variedad de las álgebras booleanas. Pero en realidad cualquier álgebra $A$ en cualquier firma genera su propia variedad de este tipo, añadiendo a la firma un montón de constantes de la forma conocida y generando luego la subvariedad por $A$ sí mismo.

Así que estoy interesado en cualquier caracterización "intrínseca" (digamos, teórica de la categoría) de las teorías/variedades con la propiedad anterior, así como en cualquier otro ejemplo familiar de las mismas.

¿Se puede esperar clasificar estas cosas hasta, por ejemplo, la equivalencia categórica?

Answer 1

No sé la respuesta a esta pregunta, pero tengo una corrección y una observación.

La pregunta es "¿Cuándo es una variedad $\mathcal V$ generado por su álgebra libre sobre el conjunto vacío?" Se ha afirmado que esta pregunta es equivalente a la pregunta de cuándo ${\mathbf F}_{\mathcal V}(\emptyset)$ es existencialmente cerrada en $\mathcal V$ .

La corrección. La afirmación no es cierta. Hay una implicación, pero no una equivalencia.

Dejemos que ${\mathbf F}_0:={\mathbf F}_{\mathcal V}(\emptyset)$ , y asumir que $\mathbf F_0$ es existencialmente cerrado (e.c.) en $\mathcal V$ . $\mathbf F_0$ es empotrable es $\mathbf F_m:=\mathbf F_{\mathcal V}(m)$ por cada $m$ . Si la fórmula q.f. $s(\bar{x})\neq t(\bar{x})$ es satisfacible en $\mathbf F_m$ , entonces es satisfacible en $\mathbf F_0$ por la propiedad e.c. Esto demuestra que $\mathbf F_0$ falla cada identidad que falla en $\mathcal V$ mientras que el hecho de que $\mathbf F_0\in{\mathcal V}$ muestra que satisface todas las identidades que se cumple en $\mathcal V$ . En conjunto, esto demuestra que $\mathbf F_0$ e.c. implica $\mathcal V$ es generado por $\mathbf F_0$ .

Pero lo contrario es falso. La variedad de anillos conmutativos es generada por ${\mathbf F}_0 = \mathbb Z$ , pero este anillo no es e.c. en la variedad de anillos conmutativos. Además, hay muchas variedades no triviales generadas por sus álgebras iniciales, $\mathbf F_0$ donde estas álgebras iniciales resultan ser finitas. (Por ejemplo, la variedad de álgebras booleanas, o los retículos distributivos acotados, o la variedad generada por el anillo de enteros módulo $n$ o cualquier variedad generada por la expansión constante de un álgebra finita). Pero un álgebra finita no trivial no puede ser e.c.

El comentario. El cartel original pregunta si existe una categoría teórica caracterización de estas variedades. Pues bien, hay una, ya que se puede expresar el Teorema HSP de Birkhoff categóricamente. Para expresar $\mathcal V = \mathbf{HSP}(\mathbf F_0)$ sólo necesitas decir que cada objeto en $\mathcal V$ es la imagen de un epimorfismo extremo de algún objeto que tiene un monomorfismo en alguna potencia del álgebra inicial. Pero, dudo que haya una caracterización no trivial de estas variedades. Como señaló el autor, cualquier variedad generada por la expansión constante de un álgebra tiene la propiedad deseada, así que esta clase de variedades es tan variada como la clase de expansiones constantes de las álgebras.

Answer 2

¿No son los mismos que clones que contiene las funciones constantes ?

A partir de un clon, sólo se toma la teoría ecuacional que consiste en todas las funciones en él, con ecuaciones todas las relaciones satisfechas por esas funciones.

A partir de una teoría/variedad, basta con tomar todas las operaciones restringidas al álgebra libre sobre el conjunto vacío en esa variedad.

Hay muchos clones no triviales en un conjunto de dos elementos, pero si leo bien el diagrama sólo hay un número finito que contiene los símbolos constantes. Entre ellos están:

El clon de las funciones monótonas da la variedad de retículos acotados.

El clon de las funciones afines le da la variedad de $\mathbb F_2$ -espacios vectoriales con un punto marcado.

El clon de funciones conjuntivas o disyuntivas le da la variedad de órdenes parciales acotados con uniones o con encuentros.

El clon de las funciones unarias te da la variedad de conjuntos con una involución y dos elementos marcados que se intercambian por la involución.

El clon de todas las operaciones booleanas le da la variedad de álgebras booleanas.

El clon de las funciones constantes le da la variedad de conjuntos con dos elementos marcados.