Una versión particular del Teorema del Mapeo Continuo (según mi conocimiento, algunos autores utilizan el mismo nombre para afirmaciones similares pero no idénticas) establece lo siguiente: si $\{X_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ es una secuencia de variables aleatorias y $g$ es una función continua $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Entonces:
- $g(X_n) \overset{a.s.}{\rightarrow} g(X)$ si $X_n \overset{a.s.}{\rightarrow} X$
- $g(X_n) \overset{p}{\rightarrow} g(X)$ si $X_n \overset{p}{\rightarrow} X$
- $g(X_n) \overset{d}{\rightarrow} g(X)$ si $X_n \overset{d}{\rightarrow} X$
donde $\overset{a.s.}{\rightarrow}$ , $\overset{p}{\rightarrow}$ y $\overset{d}{\rightarrow}$ indican respectivamente la convergencia casi segura, la convergencia en probabilidad y la convergencia en distribución.
En todos los manuales que he consultado, los autores proporcionan pruebas ad hoc para cada uno de los enunciados del teorema. Lo que no me queda claro es la razón por la que no demuestran sólo el caso de la convergencia casi segura y recurren a las conocidas implicaciones entre los distintos tipos de convergencia para obtener los restantes enunciados. ¿Qué se me escapa?
Muchas gracias.
