Dejemos que $\lambda_n$ sea la medida de Lebesgue-Borel sobre el Borel- $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ y $x,y\in\mathbb{R}^n$ . ¿Cuál es la forma más fácil de probar $$\frac 1{c_nr^n}\lambda_n\left(B_r(x)\setminus B_r(y)\right)\to 0\;\;\;\text{for }r\to\infty ,$$ donde $B_r(a)$ denota el balón abierto alrededor de $a\in\mathbb{R}^n$ con radio $r>0$ y $c_n$ es el $n$ -volumen de la bola unitaria en $\mathbb{R}^n$ .
Respuesta
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Al traducir podemos suponer $x=0$ por conveniencia, y luego al reescalar tenemos
$$\frac{1}{c_nr^n}\lambda_n(B_r(0)\setminus B_r(y)) = \frac{1}{c_n} \lambda_n(B_1(0)\setminus B_1(y/r)).$$
Ahora observa $y/r\to 0$ como $r\to\infty$ y decir "teorema de convergencia dominada".
El teorema de convergencia dominada es exagerado. Para ser más elemental, $B_1(0)\cap B_1(y/r)$ contiene la bola de radio $1-|y|/r$ centrado en $0$ , así que claramente $$\lambda(B_1(0)\cap B_1(y/r))\geq c_n(1-|y|/r)^n \to c_n$$ como $r\to\infty$ .
Puede que sea la misma razón por la que has hecho la pregunta, pero este cálculo nos lleva a una breve demostración del teorema de Liouville de que una función armónica acotada sobre $\mathbf{R}^n$ es constante. Supongamos que $f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}$ está acotado y es armónico. Entonces $f(x)$ es igual a la media de $f$ en $B_r(x)$ , y de forma similar $f(y)$ es la media de $f$ en $B_r(y)$ Así que al tomar $r$ grande en comparación con $|x-y|$ vemos que la diferencia $f(x)-f(y)$ está limitada por $\|f\|_\infty \lambda_n(B_r(x)\triangle B_r(y))/(c_nr^n)$ que, como hemos visto, tiende a cero.
Nelson, Edward. Una prueba del teorema de Liouville. Proc. Amer. Math. Soc. 12 1961 995.
