Clasificación de $3$ -curvas racionales puntuales

Question

Intenté demostrar que $\mathbb P^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ es el espacio de moduli fino para el problema de moduli, que asigna a un esquema $S$ el conjunto de (clases isomorfas de) $4$ -curvas racionales puntuales sobre $S$ . Con esto me refiero a morfismos suaves y propios $$ f: X \rightarrow S $$ cuyas fibras geométricas son curvas racionales (realmente suaves y proyectivas), junto con cuatro secciones disjuntas por pares $\sigma_1,...,\sigma_4$ .

Para ello, me gustaría demostrar la siguiente afirmación, cuya prueba (o referencia con prueba, o al menos indicios) es lo que pido amablemente

Si $f: X \rightarrow S$ es un $3$ -curva racional puntiaguda, entonces existe un isomorfismo único de $f$ con el trivial $\mathbb P^1$ -bundle $$ S \times \mathbb P^1 \rightarrow S $$ de manera que las tres secciones $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ corresponden a las secciones constantes $0,1,\infty$ .

Esto parece ser bien conocido, pero la única referencia que pude encontrar son los notas , p.16, donde no se demuestra la afirmación anterior. La parte de las tres secciones correspondientes a $0,1,\infty$ es probablemente sencillo, una vez que se conoce la trivialidad del haz.

PS: Las notas anteriores también contienen los siguientes resultados de clasificación, bastante interesantes, para $1$ - resp. $2$ -curvas puntiagudas, que enuncio de forma bastante aproximada. Si alguien de vosotros sabe algo sobre ellas, os lo agradecería mucho.

$1$ -curvas racionales puntuales (sobre $S$ ) corresponden a haces proyectivos $\mathbb P(\mathcal E)$ , donde $\mathcal E$ es un rango $2$ haz de vectores en $S$ , mientras que $2$ -Las curvas racionales puntuales corresponden a haces como los anteriores, que se dividen.

Answer 1

Dejemos que $f: X \rightarrow S$ sea una familia plana de curvas lisas, racionales y proyectivas. Supondré el siguiente hecho: si $f$ tiene al menos una sección, entonces $X \cong \mathbb{P}(\mathcal{E})$ , donde $\mathcal{E}$ es un rango $2$ haz de vectores en $S$ (sigue la idea de la demostración de la proposición V.2.2 en la Geometría Algebraica de Hartshorne, que considera el caso en que $S$ es una superficie).

Supongamos que $f$ tiene al menos dos secciones, que son disjuntas. Estas secciones corresponden a las proyecciones $\mathcal{E} \twoheadrightarrow L_{1}$ y $\mathcal{E} \twoheadrightarrow L_{2}$ , donde $L_{1}$ y $L_{1}$ son haces de líneas en $S$ . Asumiendo que $S$ es integral, los núcleos $K_{1}$ y $K_{2}$ de estos morfismos son ambos haces de líneas. Como las dos secciones son disjuntas, se tiene una inyección $K_{1} \oplus K_{2} \hookrightarrow \mathcal{E}$ . Desde $K_{1} \oplus K_{2}$ y $\mathcal{E}$ son ambos de rango $2$ tenemos la subjetividad, y por lo tanto $\mathcal{E} \cong K_{1} \oplus K_{2}$ .

Supongamos ahora que $f$ tiene al menos tres secciones, que son disjuntas. Esto garantiza que no tenemos dos de ellos mapeando un punto $s \in S$ al elemento cero del espacio vectorial $\mathcal{E}_{s}$ . En otras palabras, tenemos un marco para $\mathcal{E}$ y por lo tanto, $\mathcal{E}$ es trivial, es decir, $\mathbb{P}(\mathcal{E}) \cong S \times \mathbb{P}^{1}$ . Básicamente, lo que estoy utilizando aquí es el hecho de que un haz vectorial de rango $n$ es trivial si y sólo si tiene $n$ secciones globales linealmente independientes.

Creo que ha observado que en la obra de Kock-Vainsencher An Invitation to Quantum Cohomology - Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves, la familia universal para $4$ -El ejemplo 1.1.4 presenta las curvas racionales de punta.