serie de fourier por integral de lebesgue

Question

Hw:

alguien sabe como encontrar series de fourier sobre la función $$ f(x)= \begin{cases} 1 & \text{if $x$ is irrational}\\ 0 & \text{if $x$ is rational} \end{cases} $$

por la integral de lebesgue?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Suponiendo que se trata de definir esta función en algún intervalo finito, como integrales de Lebesgue, $\int f(x)e^{ikx}dx$ y $\int e^{ikx}dx$ son iguales ya que $f(x)=1$ en casi todas partes (y por lo tanto $f(x)e^{ixk}=e^{ikx}$ casi en todas partes).

Answer 2

En primer lugar, ya que usted pidió un fourier serie expansión, no la de Fourier transformar En este caso, primero tienes que establecer que tu función es periódica, y luego determinar su período. O al menos, tendrás que simplemente elija un intervalo $[a,b]$ y simplemente pretender que $f$ corresponde a la extensión periódica de $f|_{[a,b]}$ a $\mathbb{R}$ .

Afortunadamente, $f$ es realmente periódica, ya que si $x$ es racional exactamente si $x+d$ es racional para algunos racionales $d$ . Por lo tanto, puede elegir cualquier intervalo $[a,b]$ con $a,b \in \mathbb{Q}$ . En lo que sigue elegí $[0,1]$ por ninguna otra razón que no sea el amor de los matemáticos por esos números. Bueno, eso, y que hace que la fórmula sea ligeramente más sencilla.

Entonces haz el cálculo. Obtendrás $$ c_n = \int\limits_{[0,1]} f(x) e^{-i2\pi n} \,d\lambda(x) = \int\limits_{[0,1] \setminus \mathbb{Q}} e^{-i2\pi n} \,d\lambda(x) \overset{\lambda(\mathbb{Q})=0}= \int\limits_{[0,1]} e^{-i2\pi n} \,d\lambda(x) = \begin{cases} 1 &\text{if $n=0$} \\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$

Esto, por supuesto, es lo mismo que la serie de Fourier para la función constante $1$ en $[0,1]$ . Si hubieras preguntado por la transformada de Fourier, la respuesta dependería de si estás interesado en una función o en una distribución como resultado.

En el primer caso, la respuesta es que la transformada de Fourier no existe. Para que la transformada de Fourier exista, $\int_{\mathbb{R}} |f|\,d\lambda$ tiene que existir, y en su caso no existe.

En este último caso, entonces el resultado de la transformada de Fourier de $f$ hace existen como una distribución, en particular es la distribución $\Delta_0 = g \to g(0)$ . O, si lo desea, la medida $\mu_0$ con $\mu_0(A) = 1$ exactamente si $0 \in A$ .

Para todos estos casos sigue siendo válido que no hay diferencia entre pedir la transformada de Fourier de $f$ y la de la función constante $1$ .